Question

（2012•拱墅區二模）如圖，已知等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D為等腰Rt△ABC內一點，∠CAD=∠CBD=15°，E為AD延長線上的一點，且CE=CA．
（1）求證：DE平分∠BDC；
（2）連接BE，設DC=a，求BE的長．

Answer 1

分析：（1）先根據等腰直角三角形的性質及已知條件得出∠DAB=∠DBA=30°，則AD=BD，再證明CD是邊AB的垂直平分線，得出∠ACD=∠BCD=45°，然后根據三角形外角的性質求出∠CDE=∠BDE=60°即可；
（2）先由三角形內角和定理及∠ACB=90°得出∠BCE=∠ACE-∠ACB=60°，又由CE=AC=BC，證明△BCE是等邊三角形，則所求BE的長即轉化為求AC的長；再解斜△ACD，為此，過D作DM⊥AC于點M，作∠ADN=∠CAD=15°，交AC于N．分別求出MC=

2

2

a，NM=

6

2

a，AN=

2

a，則AC=AN+NM+MC可求．

解答：（1）證明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵∠CAD=∠CBD=15°，
∴∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°，
∴BD=AD，
∴D在AB的垂直平分線上，
∵AC=BC，
∴C也在AB的垂直平分線上，
即直線CD是AB的垂直平分線，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CDE=∠CAD+∠ACD=15°+45°=60°，
∴∠BDE=∠DBA+∠BAD=60°；
∴∠CDE=∠BDE，
即DE平分∠BDC；

（2）∵∠CAE=∠CEA=15°，
∴AC=CE，∠ACE=150°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=60°，
∵AC=CE，AC=BC，
∴CE=BC，
∴△BCE是等邊三角形，
∴BE=BC=AC．
如圖，在△ACD中，過點D作DM⊥AC于點M，作∠ADN=∠CAD=15°，交AC于N．
在Rt△CDM中，∵∠CMD=90°，∠C=45°，DC=a，
∴DM=MC=

2

2

a．
在Rt△DMN中，∵∠NMD=90°，∠DNM=∠ADN+∠CAD=30°，DM=

2

2

a，
∴DN=2DM=

2

a，NM=

3

DM=

6

2

a．
∵∠ADN=∠CAD=15°，
∴AN=DN=

2

a，
∴AC=AN+NM+MC=

2

a+

6

2

a+

2

2

a=

3 2 + 6

2

a，
∴BE=AC=

3 2 + 6

2

a．

點評：此題主要考查等腰直角三角形的性質，等邊三角形的判定與性質，三角形內角和定理與外角的性質，線段垂直平分線的判定與性質，解三角形等知識，有一定難度．其中（2）運用轉化思想，將所求BE的長轉化為求AC的長；將解斜△ACD轉化為解直角△CDM與△DMN是解題的關鍵．