Question

3．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分線．
（1）用尺規(guī)作圖方法，作∠ADC的平分線DN．（保留作圖痕跡，不寫作法和證明）
（2）設(shè)DN與AM交于點(diǎn)F，判斷△ADF的形狀并證明你的結(jié)論．
（3）過點(diǎn)C作AM的垂線，垂足為H．當(dāng)△ABC的內(nèi)角滿足什么關(guān)系時(shí)，四邊形ADCH是正方形（只寫結(jié)果）．

Answer 1

分析 （1）以D為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫弧，交AD于G，交DC于R，分別以G、R為圓心，以大于$\frac{1}{2}$GR為半徑畫弧，兩弧交于N，作射線DN，交AM于F；
（2）求出∠BAD=∠CAD，求出∠FAD=$\frac{1}{2}$×180°=90°，求出∠CDF=∠AFD=∠ADF，推出AD=AF，即可得出答案；
（3）利用等腰直角三角形的性質(zhì)，得出AD=CD時(shí)，四邊形ADCH是正方形，只要△ABC是等腰直角三角形進(jìn)而得出答案．

解答 解：（1）如圖所示：

（2）△ADF是等腰直角三角形．
理由：∵AB=AC，AD是高，
∴∠BAD=∠CAD
又∵AM是△ABC外角∠CAE的平分線，
∴∠FAD=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴AF∥BC，
∴∠CDF=∠AFD，
又∵∠AFD=∠ADF，
∴∠CDF=∠ADF，
∴AD=AF，
∴△ADF是等腰直角三角形；

（3）當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，四邊形ADCH是正方形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了作圖-基本作圖以及正方形的判定、等腰三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，正確應(yīng)用等腰直角三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．