Question

13．已知，拋物線y=a（x-h）²的頂點C（-3，0）與y軸交于A（0，1）
（1）求此拋物線的解析式并畫出它的圖象；
（2）求此拋物線向右平移4個單位后與y軸的交點坐標；
（3）在此拋物線的對稱軸上是否存在一點Q，使以點Q、O、A為頂點的△AQO是直角三角形？若存在，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由拋物線的頂點坐標可得出h的值，將點A的坐標代入拋物線解析式y=a（x+3）²中求出a值，從而得出拋物線的解析式，再利用五點法畫出函數圖象即可；
（2）根據平移的規則“左加右減”可找出平移后拋物線的解析式，將x=0代入新解析式中求出y值即可；
（3）由OC=3＞OA=1可得出△AQO為直角三角形只有兩種情況，分∠OAQ₁=90°和∠AOQ₂=90°兩種情況考慮，根據拋物線的對稱軸結合OA在y軸上即可找出點Q₁、Q₂的坐標，此題得解．

解答 解：（1）∵拋物線y=a（x-h）²的頂點C（-3，0），
∴h=-3．
又∵拋物線y=a（x-h）²與y軸交于A（0，1），
∴a（0+3）²=1，解得：a=$\frac{1}{9}$，
∴此拋物線的解析式為y=$\frac{1}{9}$（x+3）²=$\frac{1}{9}$x²+$\frac{2}{3}$x+1．
找出函數圖象上五點的坐標，畫出函數圖象如圖1所示．

（2）此拋物線向右平移4個單位后得到拋物線解析式為y=$\frac{1}{9}$（x+3-4）²=$\frac{1}{9}$x²-$\frac{2}{9}$x+$\frac{1}{9}$，
當x=0時，y=$\frac{1}{9}$，
∴此拋物線向右平移4個單位后與y軸的交點坐標為（0，$\frac{1}{9}$）．
（3）∵OC=3，OA=1，
∴△AQO為直角三角形只有兩種情況（如圖2所示）：
①當∠OAQ₁=90°時，
∵拋物線的對稱軸為x=3，點A的坐標為（0，1），線段OA在y軸上，
∴AQ₁∥x軸，
∴點Q₁的坐標為（3，1）；
②當∠AOQ₂=90°時，
∵拋物線的對稱軸為x=3，點O的坐標為（0，0），線段OA在y軸上，
∴AQ₂∥x軸，
∴點Q₂的坐標為（3，0）．
綜上所述：在此拋物線的對稱軸上存在一點Q（3，1）或（3，0），使以點Q、O、A為頂點的△AQO是直角三角形．

點評 本題考查了待定系數法求函數解析式、二次函數圖象、二次函數圖象與幾何變換以及直角三角形的性質，解題的關鍵是：（1）利用待定系數法求出拋物線的解析式；（2）熟記平移的規則“左加右減”；（3）根據邊與邊之間的關系找出當∠OAQ₁=90°或∠AOQ₂=90°時△AQO是直角三角形．本題屬于中檔題，難度不大，畫出函數圖象，利用數形結合解決問題是關鍵．