Question

如圖，矩形ABCD中，AB=12cm，AD=16cm，動點E、F分別從A點、C點同時出發，均以2cm/s的速度分別沿AD向D點和沿CB向B點運動。

（1）經過幾秒首次可使EF⊥AC？

（2）若EF⊥AC，在線段AC上，是否存在一點P，使？若存在，請說明P點的位置，并予以證明；若不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）；（2）AP=．證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）易證EF一定平分AC，當EF⊥AC時，△AEM∽△ACD，利用相似三角形的對應邊的比相等即可求得AE的長，從而求得時間t的值；

（2）當EP⊥AD時，根據相似三角形的性質可以得到2EP•AE=EF•AP，根據△AEP∽△ADC，即可求得AP的長．

試題解析：（1）在直角△ACD中，AC=cm．

設經過ts時EF⊥AC．

則AE=CF=2t，

∵矩形ABCD中，AD∥BC，

∴∠DAC=∠ACF，

在△AME和△CMF中，

，

∴△AME≌△CMF（AAS）．

則AM=MC=AC=×20=10cm．

當EF⊥AC時，△AEM∽△ACD，

∴，

即 ，

解得：AE= ．

則t=（s）；

（2）存在．

∵△AME≌△CMF，

∴ME=MF=EF，

當EP⊥AD時，△AME∽△AEP，

，

即AE•EP=AP•ME=AP•EF，

即2EP•AE=EF•AP．

∵PE⊥AD，CD⊥AD，

∴EP∥CD，

∴△AEP∽△ADC，

∴，

即，

解得：AP=．

考點：相似形綜合題．