Question

10．如圖，AB是⊙O的直徑，∠ABT=45°，AT=AB
（1）求證：AT是⊙O的切線；
（2）連接OT交⊙O于點C，連接AC，若⊙O的半徑是2，求TC及AC²．

Answer 1

分析 （1）根據等腰直角三角形的性質求出∠BAT=90°，根據切線的判定定理證明即可；
（2）根據勾股定理求出TC的長；作CD⊥AT于D，根據平行線分線段成比例定理求出CD、AD的長，根據勾股定理計算即可．

解答 （1）證明：∵∠ABT=45°，AT=AB，
∴∠ATB=∠ABT=45°，
∴∠BAT=90°，
∴AT是⊙O的切線；
（2）解：∵⊙O的半徑是2，
∴AT=AB=4，
∵∠OAT=90°，
∴OT=$\sqrt{A{T}^{2}+O{A}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴TC=OT-OC=2$\sqrt{5}$-2，
作CD⊥AT于D，
則AO∥CD，
∴$\frac{CD}{AO}$=$\frac{TC}{TO}$=$\frac{TD}{TA}$，即$\frac{CD}{2}$=$\frac{2\sqrt{5}-2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{4-AD}{4}$，
解得，CD=$\frac{10-2\sqrt{5}}{5}$，AD=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
由勾股定理得，AC²=CD²+AD²=$\frac{40-8\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查的是切線的判定和平行線分線段成比例定理的應用，掌握經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線、靈活運用平行線分線段成比例定理是解題的關鍵．