Question

20．如圖，以點A（1，$\sqrt{3}$）為圓心的⊙A交y軸正半軸于B、C兩點，且OC=$\sqrt{3}$+1，點D是⊙A上第一象限內(nèi)的一點，連接OD、CD．若OD與⊙A相切，則CD的長為（　　）

• A． $\sqrt{3}$-1
• B． $\sqrt{3}$+1
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 連接OA，連接AC，過點A作AE⊥OC于E，過點D作DF⊥CF交CA的延長線于F．首先證明△AOD為等腰直角三角形，在Rt△ADF，Rt△CDF中，解直角三角形即可解決問題．

解答 解：連接OA，連接AC，過點A作AE⊥OC于E，過點D作DF⊥CF交CA的延長線于F．

∵A（1，$\sqrt{3}$），
∴OA=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2，
∴CE=AE=1，AC=AD=$\sqrt{2}$
∴OD=$\sqrt{2}$，
∵AD=OD，∠ADO=90°，
∴△AOD為等腰直角三角形，
∴∠DAF=180°-45°-60°-45°=30°，
∴DF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，AF=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，CF=$\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
在Rt△CDF中，CD=$\sqrt{C{F}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{2}+\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$+1．
故選B．

點評 本題考查切線的性質(zhì)、坐標與圖形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、30度的直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會填空常用輔助線，構(gòu)造特殊三角形解決問題，屬于中考常考題型．