Question

14．【問(wèn)題引入】
已知：如圖BE、CF是△ABC的中線，BE、CF相交于G．求證：$\frac{GE}{GB}$=$\frac{GF}{GC}$=$\frac{1}{2}$
證明：連結(jié)EF
∵E、F分別是AC、AB的中點(diǎn)
∴EF∥BC且EF=$\frac{1}{2}$BC
∴$\frac{GE}{GB}$=$\frac{GF}{GC}$=$\frac{EF}{BC}$=$\frac{1}{2}$
【思考解答】
（1）連結(jié)AG并延長(zhǎng)AG交BC于H，點(diǎn)H是否為BC中點(diǎn)是（填“是”或“不是”）
（2）①如果M、N分別是GB、GC的中點(diǎn)，則四邊形EFMN 是平行四邊形．
②當(dāng)$\frac{AB}{AC}$的值為1時(shí)，四邊形EFMN 是矩形．
③當(dāng)$\frac{AH}{BC}$的值為$\frac{3}{2}$時(shí)，四邊形EFMN 是菱形．
④如果AB=AC，且AB=10，BC=16，則四邊形EFMN的面積S=16．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)EF，交AG于O，根據(jù)三角形中位線定理以及平行線分線段成比例定理，即可得出BH=CH，即點(diǎn)H是BC中點(diǎn)；
（2）①根據(jù)三角形中位線定理可得，EF∥MN，EF=MN，進(jìn)而得出四邊形EFMN是平行四邊形；
②當(dāng)四邊形EFMN是矩形時(shí)，可得AH垂直平分BC，進(jìn)而得出AB=AC，即$\frac{AB}{AC}$的值為1；
③當(dāng)四邊形EFMN是菱形時(shí)，MN=FM，根據(jù)三角形中位線定理以及重心性質(zhì)，可得3BC=2AH，即可得出$\frac{AH}{BC}$的值為$\frac{3}{2}$；
④當(dāng)AB=AC時(shí)，由②可得四邊形EFMN是矩形，AH⊥BC，再根據(jù)三角形中位線定理，可得MN=$\frac{1}{2}$BC=8，F(xiàn)M=$\frac{1}{2}$AG=$\frac{1}{3}$AH=2，進(jìn)而得到矩形EFMN的面積S=FM×MN=16．

解答 解：（1）如圖，連結(jié)EF，交AG于O，
∵E、F分別是AC、AB的中點(diǎn)，
∴EF是△ABC的中位線，
∴EF∥BC且EF=$\frac{1}{2}$BC，
∴$\frac{GE}{GB}$=$\frac{GF}{GC}$=$\frac{EF}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∵OE∥BH，
∴$\frac{OE}{BH}$=$\frac{GE}{GB}$=$\frac{1}{2}$，
∵OE∥CH，
∴$\frac{OE}{CH}$=$\frac{AE}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OE}{BH}$=$\frac{OE}{CH}$，
∴BH=CH，即點(diǎn)H是BC中點(diǎn)；
故答案為：是； 

 （2）①∵M(jìn)、N分別是GB、GC的中點(diǎn)，
∴MN是△GBC的中位線，
∴MN∥BC且MN=$\frac{1}{2}$BC，
由（1）可得，EF∥BC且EF=$\frac{1}{2}$BC，
∴EF∥MN，EF=MN，
∴四邊形EFMN是平行四邊形，
故答案為：平行；   

②當(dāng)四邊形EFMN是矩形時(shí)，F(xiàn)G=EG，
∵$\frac{GE}{GB}$=$\frac{GF}{GC}$=$\frac{1}{2}$，
∴GB=GC，
∴∠GBC=∠GCB，
又∵H是BC的中點(diǎn)，
∴GH⊥BC，即AH⊥BC，
∴AH垂直平分BC，
∴AB=AC，
∴$\frac{AB}{AC}$的值為1，
故答案為：1；   

③當(dāng)四邊形EFMN是菱形時(shí)，MN=FM，
∵M(jìn)N是△BCG的中位線，
∴MN=$\frac{1}{2}$BC，
∵FM是△ABG的中位線，
∴FM=$\frac{1}{2}$AG，
又∵G是△ABC的重心，
∴AG=$\frac{2}{3}$AH，
∴FM=$\frac{1}{2}$AG=$\frac{1}{3}$AH，
∴$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{3}$AH，即3BC=2AH，
∴$\frac{AH}{BC}$的值為$\frac{3}{2}$，
故答案為：$\frac{3}{2}$；

④當(dāng)AB=AC時(shí)，由②可得四邊形EFMN是矩形，AH⊥BC，
∵AB=10，BC=16，
∴BH=$\frac{1}{2}$BC=8，AH=6，
∵M(jìn)N是△BCG的中位線，
∴MN=$\frac{1}{2}$BC=8，
∵FM是△ABG的中位線，
∴FM=$\frac{1}{2}$AG=$\frac{1}{3}$AH=2，
∴矩形EFMN的面積S=FM×MN=2×8=16，
故答案為：16．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于相似形綜合題，主要考查了三角形重心性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握：重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1；三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．