Question

10．如圖，在邊長為2的正三角形ABC中，已知點P是三角形內任意一點，求點P到三角形的三邊的距離之和PD+PE+PF的值．

Answer 1

分析 連接AP、BP、CP，設等邊三角形的高為h，分別求出△APC、△APB、△BPC的面積，而三個三角形的面積之和等于△ABC面積，由此等量關系可求出到三角形的三邊距離之和PD+PE+PF等于△ABC的高．

解答 解：連接AP、BP、CP，
設等邊三角形的高為h，如圖：
∵正三角形ABC邊長為2，
∴h=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∵S_△BPC=$\frac{1}{2}$BC•DP，
S_△APC=$\frac{1}{2}$AC•PE，
S_△APB=$\frac{1}{2}$AB•PF，
∴S_△ABC==$\frac{1}{2}$BC•DP+$\frac{1}{2}$AC•PE+$\frac{1}{2}$AB•PF，
∵AB=BC=AC，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC（DP+EP+FP）=$\frac{1}{2}$BC•h，
∴PD+PF+PE=h=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了等邊三角形的性質及三角形的面積公式，難度較大，注意計算正確．