Question

如圖，⊙O和⊙O′的公共弦為AB，若AB分別為⊙O和⊙O′的內接正三角形和內接正六邊形的一邊，AB=2，則兩圓公共部分的面積為    ．

Answer 1

【答案】分析：連OO′交AB于D，交⊙O于C，根據相交兩圓的性質得到OO′垂直平分AB，根據AB為⊙O′內接正六邊形的一邊，得到△O′AB為等邊三角形，即有O′A=AB=2，∠AO′B=60°，根據扇形和三角形的面積公式利用AB與⊙O′所形成的弓形的面積=S_扇形O′AB-S_△O′AB進行計算；再由AB分別為⊙O的內接正三角形，利用等邊三角形的性質和含30度的直角三角形三邊的關系得到∴AD=1，∠AOB=2∠ACB=120°，∠AOD=60°，OD=AD=，OA=2OD=，然后利用AB與⊙O所形成的弓形的面積=S_扇形OAB-S_△OAB，最后把兩個結果相加即可得到兩圓公共部分的面積．
解答：解：如圖，連OO′交AB于D，交⊙O于C，則OO′垂直平分AB．
∵AB為⊙O′內接正六邊形的一邊，
∴△O′AB為等邊三角形，
∴O′A=AB=2，∠AO′B=60°，
∴AB與⊙O′所形成的弓形的面積=S_扇形O′AB-S_△O′AB=-×2²=π-；
又∵AB分別為⊙O的內接正三角形，
∴AD=1，∠AOB=2∠ACB=120°，∠AOD=60°，
∴OD=AD=，
∴OA=2OD=，
∴AB與⊙O所形成的弓形的面積=S_扇形OAB-S_△OAB=-×2×=π-，
∴兩圓公共部分的面積=π-+π-=π-．
故答案為π-．
點評：本題考查了扇形的面積公式：S=；也考查了相交兩圓的性質、等邊三角形的性質以及含30度的直角三角形三邊的關系．