Question

如圖，⊙O的直徑AB為10，弦BC為6，D、E分別為ACB的平分線與⊙O，AB的交點，P為AB延長線上一點,且PC=PE.

（1）求AC、AD的長；

（2）試判斷直線PC與⊙O的位置關系，并說明理由；

（3）直接寫出CD的長為____________.

 

Answer 1

（1）AC＝８；AD=5.；（2）直線PC與⊙O相切，（3）7.

【解析】

試題分析：（1）連結BD，如圖，

∵AB為直徑，

∴∠ACB=90°，

在Rt△ACB中，∵AB=10，BC=6，

∴AC==8；

∵DC平分∠ACB，

∴∠ACD=∠BCD=45°，

∴∠DAB=∠DBA=45°，

∴△ADB為等腰直角三角形，

∴AD=AB=5；

（2）PC與圓⊙O相切．理由如下：

連結OC，

∵PC=PE，

∴∠PCE=∠PEC，

∵∠PEC=∠A+∠ACE=∠A+45°，

而∠A=90°﹣∠ABC，∠ABC=∠OCB，

∴∠PCE=90°﹣∠OCB+45°=90°﹣（∠OCE+45°）+45°，

∴∠OCE+∠PCE=90°，

即∠PCO=90°，

∴OC⊥PC，

∴PC為⊙O的切線；

（3）點I為Rt△ABC的內心，連結BI，作IF⊥BC于F，如圖，

∵點I為Rt△ABC的內心，

∴BI平分∠ABC，

∵∠DIB=∠ICB+∠IBC=45°+∠IBC，∠DBI=∠DBA+∠EBI=45°+∠EBI，

∴∠DIB=∠DBI，

∴BD=BI，

∴BI=DA=5，

∵IF==2，

∴CI=2，

∴CD=CI+DI=7．

故答案為7．

考點: 切線的判定