Question

已知拋物線與y軸交于點C，與x軸交于A（，0），B（，0），（＜）兩點，頂點M的縱坐標為，若，是方程的兩根，且。

（1）、求A、B兩點的坐標。

（2）、求拋物線的表達式及點C的坐標。

（3）、拋物線上是否存在點P，使△PAB的面積等于四邊形ACMB面積的2倍，若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

（1）A（﹣1，0），B（3，0）；（2）y=x2﹣2x﹣3；C（0,-3）；（3）存在符合條件的P點，且坐標為（1﹣，9），（1+，9）

【解析】

試題分析：（1）根據韋達定理可得出A、B兩點橫坐標的和與積，聯立x12+x22=10，可求出m的值，進而可求出A、B的坐標．

（2）根據A、B的坐標，可得出拋物線的對稱軸的解析式，即可求出其頂點M的坐標，根據得出的A、B、M三點的坐標，即可用待定系數法求出拋物線的解析式．

（3）可先求出四邊形ACMB的面積（由于四邊形ACMB不規則，因此其面積可用分割法進行求解）．然后根據ACMB的面求出P點的縱坐標的絕對值，將其代入拋物線的解析式中即可求出P點的坐標．

試題解析：（1）∵若x1，x2是方程x2﹣2（m﹣1）+m2﹣7=0的兩個實數根，

由題意得：x1+x2═﹣=2（m﹣1），x1x2==m2﹣7．

∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=4（m﹣1）2﹣2（m2﹣7）=10，

化簡，得m2﹣4m+4=0，

解得m=2．

且當m=2時，△=4﹣4×（﹣3）＞0，符合題意．

∴原方程可寫成：x2﹣2x﹣3=0，

∵x1＜x2，

∴x1=﹣1，x2=3；

∴A（﹣1，0），B（3，0）；

（2）已知：A（﹣1，0），B（3，0），

∴拋物線的對稱軸為x=1，

因此拋物線的頂點坐標為（1，﹣4）．

設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣3），則有：

﹣4=a（1+1）（1﹣3），a=1；

∴y=（x﹣3）（x+1）=x2﹣2x﹣3；

當x=0時，y=-3.所以C（0,-3）

（3）S四邊形ACMB=S△AOC+S梯形OCMN+S△NBM=OA•OC+（OC+MN）•ON+NB•MN，

=×1×3+×（3+4）×1+×2×4=9．

假設存在P（x0，y0）使得S△PAB=2S四邊形ACMB=18，

即：AB|y0|=18，×4×|y0|=18，

∴y0=±9；

當y0=9時，x2﹣2x﹣3=9，解得x=1﹣，x=1+；

當y0=﹣9時，x2﹣2x﹣3=﹣9，此方程無實數根．

∴存在符合條件的P點，且坐標為（1﹣，9），（1+，9）．

考點：二次函數綜合題．