Question

15．已知二次函數y=mx²+2（m+2）x+m+9．
（1）如果二次函數的圖象與x軸有兩個交點，求m的取值范圍；
（2）如圖，二次函數的圖象過，點A（4，0），與y軸交于點B，直線AB與這個二次函數圖象的對稱軸交于點P，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）利用二次函數的定義和判別式的意義得到m≠0且△=4（m+2）²-4m•（m+9）＞0，然后求出兩個不等式的公共部分即可；
（2）先把A（4，0）代入y=mx²+2（m+2）x+m+9求出m=-1，則拋物線解析式為y=-x²+2x+8，配成頂點式得y=-（x-1）²+9，于是得到拋物線的對稱軸為直線x=1，接著確定B（0，8），然后利用待定系數法求出直線AB的解析式為y=-2x+8，再求自變量為1時的一次函數值即可得到P點坐標．

解答 解：（1）根據題意得m≠0且△=4（m+2）²-4m•（m+9）＞0，
所以m＜$\frac{4}{5}$且m≠0；
（2）把A（4，0）代入y=mx²+2（m+2）x+m+9得16m+8（m+2）+m+9=0，
解得m=-1，
所以拋物線解析式為y=-x²+2x+8=-（x-1）²+9，
所以拋物線的對稱軸為直線x=1，
當x=0時，y=-x²+2x+8=8，則B（0，8），
設直線AB的解析式為y=kx+b，
把A（4，0），B（0，8）代入得$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=8}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=8}\end{array}\right.$，
所以直線AB的解析式為y=-2x+8，
當x=1時，y=-2x+8=6，
所以P點坐標為（1，6）．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數y=ax²+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）與x軸的交點坐標問題轉化為解關于x的一元二次方程．△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點個數：△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．也考查了二次函數的性質．