Question

在△ABC中，BD是△ABC的中線，點P為BD上一點，且BP=2PD，過點P作MN∥BC交AB于點M，交AC于點N．
（1）如圖一，若BA=BC，寫出圖中所有與PM相等的線段，并分別給出證明；
（2）如圖二，過BA≠BC，在（1）中與PM相等的線段中找出一條仍然與PM相等的線段，并給出證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先過點M作ME∥AC，由在△ABC中，BD是△ABC的中線，BA=BC，根據三線合一的性質，可得BD是高，是角平分線，又由MN∥BC，易證得△PMB是等腰三角形，即可得PM=BM，然后證得PE=PD，即可證得△PME≌△PND，繼而證得PM=PN；
（2）首先過點M作ME∥AC，根據平行線分線段成比例定理，易證得ME=DN=CD，則可證得△PME≌△PND，繼而證得PM=PN．
解答：解：（1）PM=PN=BM．
證明：過點M作ME∥AC，
∵BA=BC，BD是△ABC的中線，
∴BD⊥AB，∠ABD=∠CBD，
∴BD⊥ME，
∵MN∥BC，
∴∠CBD=∠MPB，
∴∠ABD=∠MPB，
∴PM=BM；
∴BE=PE=PB，
∵BP=2PD，
即PD=PB，
∴PD=PE，
在△PME和△PND中，

∴△PME≌△PND（AAS），
∴PM=PN．
∴PM=PN=BM．

（2）PM=PN．
證明：過點M作ME∥AC，
∴，
∵MN∥BC，
∴，
∵PB=2PD，
∴，
∴DN：DC=1：3，
即CD=3DN，
∵BD是△ABC的中線，
∴AD=CD，
∴CN：AC=1：3，
∴，
∴，
即AD=3EM，
∴CD=3EM，
∴EM=DN，
∵ME∥AC，
∴∠PME=∠PND，
在△PEM和△PDN中，
，
∴△PEM≌△PDN（AAS），
∴PM=PN．
點評：此題考查了平行線分線段成比例定理、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質以及平行線的性質等知識．此題綜合性較強，難度較大，解題的關鍵是準確作出輔助線，利用數形結合思想求解．