Question

4．如圖，?ABCD中，對角線BD⊥AB，AD=5cm，CD=4cm，動點E從點C出發，沿C-D方向以1cm/s的速度運動，動點F從點A出發，沿A-D-B方向以2cm/s的速度運動，當其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動．連接EF并延長交BA的延長線于點M．設運動時間為t（s），解答下列問題：
（1）當t為何值時，四邊形AMDE是平行四邊形？
（2）設四邊形BCEF的面積為y（cm²），求y與t之間的函數關系式；
（3）直接寫出使△BEF是等腰三角形的t的值．

Answer 1

分析 （1）根據三角形相似的判定，證明△MAF∽△EDF，進而用含t的式子表示MA，再根據平行四邊形的性質，得MA=DE，求出t的值即可；
（2）根據題意，分0≤t≤$\frac{5}{2}$和$\frac{5}{2}$＜t≤4兩種情況解答，根據整體減去部分的方法求出面積即可；
（3）要使△BEF是等腰三角形，只要滿足BE=BF即可，根據全等即可求出t的值．

解答 解：（1）如圖①，
在?ABCD中，AB=CD=4cm，AD=5cm，AB∥CD，
∴∠MAF=∠EDF，
∵∠MFA=∠EFD，
∴△MAF∽△EDF，
∴$\frac{MA}{AF}=\frac{DE}{DF}$，即$\frac{MA}{2t}=\frac{4-t}{5-2t}$，解得：MA=$\frac{2t（4-t）}{5-2t}$，
要使四邊形AMDE是平行四邊形，只要滿足MA=DE即可，即$\frac{2t（4-t）}{5-2t}=4-t$，整理，得：4t²-21t+20=0，
解得：${t}_{1}=\frac{5}{4}$，t₂=4（不合題意，舍去），
∴當$t=\frac{5}{4}$時，四邊形AMDE是平行四邊形．
（2）∵AB⊥BD，AD=5cm，AB=4cm，
∴BD=$\sqrt{A{D}^{2}-A{B}^{2}}=\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}=3$cm，
當0≤t≤$\frac{5}{2}$時，如圖②，
過點F作FG⊥CD的延長線于點G，FH⊥AB于點H，
則GH=3cm，△AFH∽△DFG，
∴$\frac{FH}{FG}=\frac{AF}{DF}$，即$\frac{FH}{3-FH}=\frac{2t}{5-2t}$，解得：FH=$\frac{6}{5}$t，FG=3-$\frac{6}{5}$t，
∴S_{四邊形BCEF}=S_?ABCD-S_△EDF-S_△ABF=4×3-$\frac{1}{2}$×DE×FG-$\frac{1}{2}$×AB×FH=$-\frac{3}{5}{t}^{2}+\frac{3}{2}t+12$；
當$\frac{5}{2}$＜t≤4時，如圖③，
∴S_{四邊形BCEF}=S_△BCD-S_△EDF=$\frac{1}{2}$×3×4-$\frac{1}{2}$×ED×DF=${t}^{2}-\frac{13}{2}t+16$，
綜上所述，y=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{5}{t}^{2}+\frac{3}{2}t+12（0≤t≤\frac{5}{2}）}\\{{t}^{2}-\frac{13}{2}t+16（\frac{5}{2}＜t≤4）}\end{array}\right.$．
（3）當t=1時，△BEF是等腰三角形．

點評 本題主要考查四邊形、三角形的相關知識，第（1）小題，要熟練掌握相似三角形的性質和判定；第（2）小題，分兩種情況討論是解決此題對關鍵；第（3）小題，需要熟練掌握等腰三角形的判定方法．