Question

14．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)P是BC邊上一點(diǎn)（不與B、C重合），連接PA，將線段PA繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PE，交邊DC于F，連接AE，CE．
（1）求證：△ABP∽△PCF；
（2）求∠ECF的度數(shù)；
（3）若∠APB=75°，PC=2，求S_△APE．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和已知條件證明∠PAB=∠EPC，即可證明：△ABP∽△PCF；
（2）如圖，過點(diǎn)E作EG⊥AB，垂足為G．首先證明△DAP≌△PGE，從而得到：AP=EG，PG=AD，然后由正方形的性質(zhì)可知：AB=PG，從而可證明BG=EG，所以∠EBG=45°，從而得到∠CBE=45°；
（3）如圖2，連接AC，過C作CH⊥AP交AP的延長(zhǎng)線于H，設(shè)PB=x，則AB=BC=x+2，根據(jù)勾股定理得到AC=$\sqrt{2}$（x+2），解直角三角形得到CH=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}（x+2）}{2}$，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AP=2$\sqrt{2}$，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=∠PCD=90°，
∴∠PAB+∠APB=90°，
∵∠APE=90°，
∴∠EPC+∠APB=90°，
∴∠PAB=∠EPC，
∴△ABP∽△PCF；
（2）如圖1，過點(diǎn)E作EG⊥BC，垂足為G．
在△ABP和△PGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAP=∠EPG}\\{∠ABP=∠EGP}\\{AP=PE}\end{array}\right.$．
∴△ABP≌△PGE，
∴BP=EG，PG=AB，
∵AB=BC，
∴BC=PG，
∴BC-PC=PG-PC，即BP=CG，
∴CG=EG，
又∵∠EGC=90°，
∴∠ECG=45°，
∴∠ECF=45°；
（3）如圖2，連接AC，過C作CH⊥AP交AP的延長(zhǎng)線于H，
設(shè)PB=x，則AB=BC=x+2，
∴AC=$\sqrt{2}$（x+2），
∵∠BAP=15°，∠BAC=45°，
∴∠PAC=30°，
∴CH=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}（x+2）}{2}$，
∵∠B=∠H=90°，∠APB=∠CPH，
∴△ABP∽△CHP，
∴$\frac{CH}{AB}=\frac{PC}{AP}$，即$\frac{\frac{\sqrt{2}（x+2）}{2}}{x+2}$=$\frac{2}{AP}$，
∴AP=2$\sqrt{2}$，
∴S_△APE=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}$=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判斷和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．