Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A（-1，0），C（2，-3）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)D，與x軸交于另一點(diǎn)B．

（1）求此拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）若將此拋物線平移，使其頂點(diǎn)為點(diǎn)D，需如何平移？寫出平移后拋物線的解析式；

（3）過點(diǎn)P（m，0）作x軸的垂線（1≤m≤2），分別交平移前后的拋物線于點(diǎn)E，F，交直線OC于點(diǎn)G，求證：PF=EG．

Answer 1

【答案】（1），（，）；（2）向左個(gè)單位長度，再向上平移個(gè)單位長度．平移后的拋物線解析式為：．（3）證明見解析.

【解析】

試題（1）把A（-1，0），C（2，-3）代入y=x2+bx+c，得到關(guān)于b、c的二元一次方程組，解方程組求出b、c的值，即可求出拋物線的解析式，再利用配方法將一般式化為頂點(diǎn)式，即可求出頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）先求出拋物線y=x2-x-2與y軸交點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，-2），再根據(jù)平移規(guī)律可知將點(diǎn)（，-）向左平移個(gè)單位長度，再向上平移個(gè)單位長度，可得到點(diǎn)D，然后利用頂點(diǎn)式即可寫出平移后的拋物線解析式為：y=x2-2；

（3）先用待定系數(shù)法求直線OC的解析式為y=-x，再將x=m代入，求出yG=-m，yF=m2-2，yE=m2-m-2，再分別計(jì)算得出PF=-（m2-2）=2-m2，EG=yG-yE=2-m2，由此證明PF=EG．

試題解析：（1）解：把A（-1，0），C（2，-3）代入y=x2+bx+c，

得：，解得：，

∴拋物線的解析式為：，

∵=，

∴其頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（，-）；

（2）解：∵

∴當(dāng)x=0時(shí)，y=-2，

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-2）．

∵將點(diǎn)（，-）向左平移個(gè)單位長度，再向上平移個(gè)單位長度，可得到點(diǎn)D，

∴將向左平移個(gè)單位長度，再向上平移個(gè)單位長度，頂點(diǎn)為點(diǎn)D，

此時(shí)平移后的拋物線解析式為：；

（3）證明：設(shè)直線OC的解析式為y=kx，

∵C（2，-3），

∴2k=-3，解得k=-，

∴直線OC的解析式為y=-x．

當(dāng)x=m時(shí)，yF=m2-2，則PF=-（m2-2）=2-m2，

當(dāng)x=m時(shí)，yE=m2-m-2，yG=-m，

則EG=yG-yE=2-m2，

∴PF=EG．