Question

4．在△ABC中，AB=AC，點D是射線CB上的一動點（不與點B、C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，連接CE，設(shè)∠BAC=α，∠DCE=β．
（1）如圖1，當(dāng)點D在線段CB上，且α=60°時，那么β=120度；
（2）當(dāng)α≠60°．
①如圖2，當(dāng)點D在線段CB上，求α與β間的數(shù)量關(guān)系；
②如圖3，當(dāng)點D在線段CB的延長線上，請將如圖3補(bǔ)充完整，并求出α與β之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)∠DAE=∠BAC，得到∠BAD=∠CAE，推出△ABD≌△ACE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ACE=∠ABC=60°，根據(jù)得到結(jié)論；
（2）由∠BAC=∠DAE，得到∠BAD=∠CAE，推出△ABD≌△ACE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠B=∠ACE，于是得到∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，證得∠B+∠ACB=∠DCE=∠β，即可得到結(jié)論；
②由∠DAE=∠BAC，得到∠DAB=∠EAC，推出△ABD≌△ACE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ADB=∠AEC，設(shè)線段AE和線段CB相交于點F．于是得到∠DFA=∠EFC，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD與△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE，
∴∠ACE=∠ABC=60°，
∴β=120°，
故答案為：120°；

（2）①α+β=180°，
理由：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD與△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE，
∴∠B=∠ACE，
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，
∴∠B+∠ACB=∠DCE=∠β，
∵α+∠B+∠ACB=180°，
∴α+β=180°，

②圖形正確，α=β，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE，
即∠DAB=∠EAC，
在△ABD與△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE，
∴∠ADB=∠AEC，
設(shè)線段AE和線段CB相交于點F．
∴∠DFA=∠EFC，
∵∠DAF+∠DFA+∠ADF=∠ECF+∠EFC+∠AEC=180°，
∴∠DAF=∠ECF，
∴α=β．

點評 該題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識點及其應(yīng)用問題；應(yīng)牢固掌握等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識點．