Question

10．鄰邊不相等的矩形紙片，剪去一個最大的正方形，余下一個四邊形，稱為第一次操作，在余下的矩形紙片中再剪去一個最大的正方形，余下一個四邊形，稱為第二次操作，…依此類推，若第n次余下的四邊形是正方形，則稱原矩形為n階方形，如圖，矩形ABCD中，若AB=1，BC=2，則矩形ABCD為1階方形．
（1）判斷：鄰邊長分別為2和3的矩形是2階方形；鄰邊長分別為3和4的矩形是3階方形；
（2）已知矩形ABCD是3階方形，其邊長分別為1和a（a＞1），請畫出矩形ABCD及裁剪線的示意圖，并在下方寫出的a值；
（3）已知矩形ABCD的鄰邊長分別為a，b（a＞b），滿足a=5b+r，b=4r，請直接寫出矩形ABCD是幾階方形．

Answer 1

分析 （1）第一個最大正方形邊長為2，第二個最大正方形邊長為1，余下的正方形邊長為1，所以鄰邊長分別為2和3的矩形是2階方形；
第一個最大正方形邊長為3，第二個和第三個最大正方形邊長都為1，余下的正方形邊長為1，所以鄰邊長分別為3和4的矩形是3階方形；
（2）a有四個值：當a=4時，三個最大的正方形邊長都為1，余下的正方形邊長為1；
當a=$\frac{5}{2}$時，第一個和第二個正方形邊長都為1，第三個正方形邊長為$\frac{1}{2}$，余下的正方形邊長為$\frac{1}{2}$；
當a=$\frac{4}{3}$時，第一個正方形邊長為1，第二個和第三個正方形邊長都為$\frac{1}{3}$，余下的正方形邊長為$\frac{1}{3}$；
當a=$\frac{5}{3}$時，第一個正方形邊長為1，第二個正方形邊長為$\frac{2}{3}$，第三個正方形邊長為$\frac{1}{3}$，余下的正方形邊長為$\frac{1}{3}$；
（3）先計算a=21r，前五個正方形邊長都為4r，后四個正方形邊長都為r，所以矩形ABCD是8階方形．

解答 解：（1）答案為：2階，3階；    
作圖如下：


（2）作圖如下：

（3）∵a=5b+r，b=4r，
∴a=5×4r+r=21r，
作圖如下：

則矩形ABCD是8階方形．

點評 本題是一個四邊形的閱讀理解題，考查了學生的閱讀理解能力；給出一個新的定義，按此定義理解并解決問題，這類題的關鍵是找重點語句：依次找最大正方形，且最后余下的也是一個正方形；有n個正方形，就是n-1階方形；運用了數形結合的思想，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化．