Question

15．在△ABC中，CA=CB，點M是AB邊的中點，MN⊥AC于點N，點E為線段MN的中點，連接CE、BN．
（1）如圖1，若∠ACB=90°，
①求tan∠ECA的值；
②求$\frac{CE}{BN}$的值；
（2）如圖2，若∠ACB＞90°，且tanA=m（m＜1），請用m的代數式表示$\frac{CE}{BN}$的值．

Answer 1

分析 （1）①根據tan∠ACE=$\frac{NE}{NC}=\frac{1}{2}$，只要證明MN=AN=CN即可解決問題．
②由△CNE∽△BCN，得$\frac{CE}{BN}=\frac{NE}{NC}=\frac{1}{2}$，即可解決問題．
（3）只要證明△MNC∽△ANM，即可解決問題$\frac{MN}{AN}$=$\frac{CM}{AM}$．

解答 解：（1）如圖1中，

①∵AB=AC，∠ACB=90°，
∴∠A=45°，
∵MN⊥AC，
∴∠ANM=90°，
∴∠A=∠AMN=45°，
∴AN=MN，
∴$\frac{MN}{AN}=1$，
∴$\frac{NE}{AN}=\frac{1}{2}$，
∵MN∥BC，AM=BM，
∴AN=NC，
∴tan∠ACE=$\frac{NE}{NC}=\frac{1}{2}$．

②∵$\frac{BC}{CN}$=2，$\frac{CN}{NE}$=2，
∴$\frac{BC}{CN}$=$\frac{CN}{EN}$，
∵∠BCN=∠CNE=90°，
∴△CNE∽△BCN，
∴$\frac{CE}{BN}=\frac{NE}{NC}=\frac{1}{2}$．

（2）如圖2中，連接CM．

∵AC=BC，AM=BM，
∴CM⊥AB，
∵MN⊥AC，
∴∠ANM=∠MNC=90°，
∵∠AMN+∠NMC=90°，∠AMN+∠A=90°，
∴∠A=∠NMC，
∴△MNC∽△ANM，
∴$\frac{MN}{AN}$=$\frac{CM}{AM}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}MN}{AN}$=$\frac{CM}{2AM}$，
即$\frac{EM}{AN}$=$\frac{CM}{AB}$，∵∠A=∠EMC，
∴△EMC∽△NAB，
∴$\frac{CE}{BN}$=$\frac{EM}{AM}$=$\frac{1}{2}m$．

點評 本題考查三角形綜合題、相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形，學會利用兩邊成比例夾角相等的兩個三角形相似，屬于中考�？碱}型．