Question

15．如圖2，在平面直角坐標系xOy中，已知OP平分∠yOx．點P（2，2），點A在x軸正半軸上，聯結PA，過點P作PB⊥PA交軸正半軸于點B．
（1）如圖1，當PA⊥x軸時，求點A的坐標；
（2）如圖2，當PA不垂直于x軸時，聯結AB，試判斷△PAB的形狀，并說明理由；
（3）如圖2，當PA不垂直于x軸時，請直接寫出四邊形APBO的面積．

Answer 1

分析 （1）根據題意即可得到結論；
（2）過P作PC⊥x軸于C，PD⊥y軸于D，得到四邊形APBO是正方形，求得∠CPD=90°，推出△PDB≌△PAC，根據全等三角形的性質得到PB=PA，根據等腰直角三角形的判定定理即可得到結論；
（3）根據全等三角形的性質即可得到結論．

解答 解：（1）∵PA⊥x軸，點P（2，2），
∴OA=2，
∴A（2，0）；

（2）過P作PC⊥x軸于C，PD⊥y軸于D，
∵OP平分∠yOx，
∴PD=PC，
∴四邊形APBO是正方形，
∴∠CPD=90°，
∵∠APB=90°，
∴∠APC=∠DPB，
在△PDB與△PAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PDB=∠PCA=90°}\\{∠DPB=∠APC}\\{PD=PC}\end{array}\right.$，
∴△PDB≌△PAC，
∴PB=PA，
∵∠APB=90°，
∴△APB是等腰直角三角形；

（3）∵點P（2，2），
∴PC=PD=2，
∵△PDB≌△PAC，
∴S_{四邊形APBO}=S_{正方形CPDO}=2×2=4．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質，正方形的判定和性質，等腰直角三角形的判定和性質，正確的作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．