Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，E是BC中點，點O在AB上，以OB為半徑的⊙O經過點AE上的一點M，分別交AB，BC于點F，G，連BM，此時∠FBM=∠CBM．

（1）求證：AM是⊙O的切線；

（2）當BC=6，OB：OA=1：2 時，求，AM，AF圍成的陰影部分面積．

Answer 1

【考點】切線的判定；勾股定理；扇形面積的計算；相似三角形的判定與性質．

【專題】計算題．

【分析】（1）連接OM，由AB=AC，且E為BC中點，利用三線合一得到AE垂直于BC，再由OB=OM，利用等邊對等角得到一對角相等，由已知角相等，等量代換得到一對內錯角相等，利用內錯角相等兩直線平行得到OM與BC平行，可得出OM垂直于AE，即可得證；

（2）由E為BC中點，求出BE的長，再由OB與OA的比值，以及OB=OM，得到OM與OA的比值，由OM垂直于AE，利用直角三角形中一直角邊等于斜邊的一半，得到此直角邊所對的角為30度得到∠MAB=30°，∠MOA=60°，陰影部分的面積=三角形AOM面積﹣扇形MOF面積，求出即可．

【解答】解：（1）連結OM，

∵AB=AC，E是BC中點，

∴BC⊥AE，

∵OB=OM，

∴∠OMB=∠MBO，

∵∠FBM=∠CBM，

∴∠OMB=∠CBM，

∴OM∥BC，

∴OM⊥AE，

∴AM是⊙O的切線；

 

（2）∵E是BC中點，

∴BE=BC=3，

∵OB：OA=1：2，OB=OM，

∴OM：OA=1：2，

∵OM⊥AE，

∴∠MAB=30°，∠MOA=60°，OA：BA=1：3，

∵OM∥BC，

∴△AOM∽△ABE，

∴==，

∴OM=2，

∴AM==2，

∴S_陰影=×2×2﹣=2﹣π．

【點評】此題考查了切線的判定，涉及的知識有：圓周角定理，弧，弦及圓心角之間的關系，平行線的性質，扇形面積求法，以及勾股定理，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關鍵．