Question

如圖，在菱形ABCD中，AC、BD交于點O，AC=12cm，BD=16cm．動點P在線段AB上，由B向A運動，速度為1cm/s，動點Q在線段OD上，由D向O運動，速度為1cm/s．過點Q作直線EF⊥BD交AD于E，交CD于F，連接PF，設運動時間為t（0＜t＜8）．問：

（1）何時四邊形APFD為平行四邊形？求出相應t的值；

（2）設四邊形APFE面積為ycm²，求y與t的函數關系式；

（3）是否存在某一時刻t，使S_{四邊形APFE}：S_菱形ABCD=17：40？若存在，求出相應t的值，并求出，P、E兩點間的距離；若不存在，說明理由．

Answer 1

【考點】四邊形綜合題．

【專題】幾何動點問題．

【分析】（1））由四邊形ABCD是菱形，OA=AC，OB=BD．在Rt△AOB中，運用勾股定理求出AB=10．再由△DFQ∽△DCO．得出．求出DF．由AP=DF．求出t．

（2）過點C作CG⊥AB于點G，由S_菱形ABCD=AB•CG=AC•BD，求出CG．據S_梯形APFD=（AP+DF）•CG．S_△EFD=EF•QD．得出y與t之間的函數關系式；

（3）過點C作CG⊥AB于點G，由S_菱形ABCD=AB•CG，求出CG，由S_{四邊形APFE}：S_菱形ABCD=17：40，求出t，再由△PBN∽△ABO，求得PN，BN，據線段關系求出EM，PM再由勾股定理求出PE．

【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB∥CD，AC⊥BD，OA=OC=AC=6，OB=OD=BD=8．

在Rt△AOB中，AB==10．

∵EF⊥BD，

∴∠FQD=∠COD=90°．

又∵∠FDQ=∠CDO，

∴△DFQ∽△DCO．

∴．

即，

∴DF=t．

∵四邊形APFD是平行四邊形，

∴AP=DF．

即10﹣t=t，

解這個方程，得t=．

∴當t=s時，四邊形APFD是平行四邊形．

 

（2）如圖，過點C作CG⊥AB于點G，

∵S_菱形ABCD=AB•CG=AC•BD，

即10•CG=×12×16，

∴CG=．

∴S_梯形APFD=（AP+DF）•CG

=（10﹣t+t）•=t+48．

∵△DFQ∽△DCO，

∴．

即=，

∴QF=t．

同理，EQ=t．

∴EF=QF+EQ=t．

∴S_△EFD=EF•QD=×t×t=t²．

∴y=（t+48）﹣t²=﹣t²+t+48．

 

（3）如圖，過點P作PM⊥EF于點M，PN⊥BD于點N，

若S_{四邊形APFE}：S_菱形ABCD=17：40，

則﹣t²+t+48=×96，

即5t²﹣8t﹣48=0，

解這個方程，得t₁=4，t₂=﹣（舍去）

過點P作PM⊥EF于點M，PN⊥BD于點N，

當t=4時，

∵△PBN∽△ABO，

∴=，

即=．

∴PN=，BN=．

∴EM=EQ﹣MQ=3﹣=．

PM=BD﹣BN﹣DQ=16﹣﹣4=．

在Rt△PME中，

PE==（cm）．

【點評】本題主要考查了四邊形的綜合知識，用到的知識點有勾股定理、菱形的性質、梯形的面積公式、相似三角形的判定和性質以及一元二次方程得解、平行四邊形的性質等性質，題目的綜合性較強，對學生的綜合解題能力要求很高，是一道不錯的中考壓軸題．