Question

1．如圖，正方形ABCD的邊長為2，動點E從點A出發，沿邊AB-BC向終點C運動，以DE為邊作正方形DEFG（點D、E、F、G按順時針方向排列）．設點E運動的速度為每秒1個單位，運動的時間為x 秒．
（1）如圖1，當點E在AB上時，求證：點G在直線BC上；
（2）設正方形ABCD與正方形DEFG重疊部分的面積為S，求S與x之間的函數關系式；
（3）直接寫出整個運動過程中，點F經過的路徑長．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質得出AD=CD，DE=DG，∠ADE+∠EDC=∠EDC+∠CDG=90°，證出∠ADE=∠CDG，由SAS證明△ADE≌△CDG，得出∠DCG=∠DAE=90°，證出∠DCG+∠DCB=180°，即可得出結論；
（2）分情況討論：①當點E在AB邊上時，過點E作EK∥AD，交CD于點K，則AC∥EK∥AD，證明△ADE∽△BEH，由相似三角形的性質得出$\frac{AD}{BE}$=$\frac{AE}{BH}$，求出BH=$\frac{x（2-x）}{2}$，S=正方形ABCD的面積-△ADE的面積-△BEH的面積，即可得出結果；
②當點E在BC邊上時，S=△DEC的面積=4-x；
（3）由（1）知，當點E在AB上時，點G在直線BC上，當點E與B點重合時，點F的位置如圖2所示：點F運動的路徑為BF；同理，點E在BC上時，當點E與C點重合時，點F運動的路徑為FG；由勾股定理求出BD，即可得出結果．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD與四邊形DEFG都是正方形，
∴AD=CD，DE=DG，∠ADE+∠EDC=∠EDC+∠CDG=90°，
∴∠ADE=∠CDG，
在△ADE和△CDG中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADE=∠CDG}\\{DE=DG}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDG （SAS），
∴∠DCG=∠DAE=90°，
∵∠DCB=90°，
∴∠DCG+∠DCB=180°，
∴點G在直線BC上；
（2）解：①當點E在AB邊上時，過點E作EK∥AD，交CD于點K，如圖1所示：
則AC∥EK∥AD，
∴∠HEK=∠EHB，∠DEK=∠EDA，
∵∠EHB+∠BEH=90°，∠EDA+∠AED=90°，∠HEK+∠DEK=90°，
∴∠EDA=∠BEH，∠AED=∠EHB，
∴△ADE∽△BEH，
∴$\frac{AD}{BE}$=$\frac{AE}{BH}$，即$\frac{2}{2-x}$=$\frac{x}{BH}$，
∴BH=$\frac{x（2-x）}{2}$，
S=正方形ABCD的面積-△ADE的面積-△BEH的面積=2×2-$\frac{1}{2}$×2×x-$\frac{1}{2}$×（2-x）×$\frac{x（2-x）}{2}$=$\frac{-{x}^{3}+4{x}^{2}-8x+16}{4}$；
②當點E在BC邊上時，S=△DEC的面積=$\frac{1}{2}$×2×（4-x）=4-x；
（3）解：由（1）知，當點E在AB上時，點G在直線BC上，當點E與B點重合時，點F的位置如圖2所示：
點F運動的路徑為BF；
同理，點E在BC上時，當點E與C點重合時，點F運動的路徑為FG；
∵BD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴BF+FG=2BD=4$\sqrt{2}$，
∴點F運動的路徑長為4$\sqrt{2}$．

點評 本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質、平行線的判定與性質、三角形面積的計算、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理等知識；熟練掌握正方形的性質、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質是解決問題的關鍵．