Question

2．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，且BC=2，則AB=$\sqrt{5}+1$．

Answer 1

分析 作∠ABC的平分線交AC于D如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可計(jì)算出∠ABC=∠C=72°，則∠ABD=∠CBD=36°，所以DA=DB，易得BD=BC，則AD=BC，再證明△BCD∽△ABC，得到BC²=CD•AD，則AD²=CD•AD，根據(jù)黃金分割的定義得到點(diǎn)D為AC的黃金分割點(diǎn)，據(jù)此可得AB的長(zhǎng)．

解答 解：如圖，作∠ABC的平分線交AC于D，
∵AB=AC，且∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∴DA=DB，
而∠BDC=∠A+∠ABD=72°，
∴BD=BC，
∴AD=BC，
∵∠CBD=∠A，∠BCD=∠ACB，
∴△BCD∽△ABC，
∴BC：AC=CD：BC，
∴BC²=CD•AD，
∴AD²=CD•AD，
∴點(diǎn)D為AC的黃金分割點(diǎn)，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
即$\frac{2}{AC}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴AC=$\sqrt{5}+1$=AB，
故答案為：$\sqrt{5}+1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了黃金分割，解題時(shí)注意：若點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，其中AC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AB，線段AB的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)．