Question

18．如圖，等邊三角形ABC內接于⊙O，若AB=3，則圖中陰影部分的面積為（　　）

• A． $\frac{3π}{2}-\frac{9}{4}\sqrt{3}$
• B． $\frac{3π}{2}-\frac{9}{2}\sqrt{3}$
• C． $π-\frac{3}{4}\sqrt{3}$
• D． $π-\frac{3}{2}\sqrt{3}$

Answer 1

分析 連接OB、OC，過O作OD⊥BC于D，根據垂徑定理求出BD，根據等邊三角形性質求出∠OBC，根據勾股定理得到OB，分別求出扇形BOC和三角形OBC的面積，即可得出答案．

解答 解：連接OB、OC，過O作OD⊥BC于D，
則BD=DC=$\frac{3}{2}$，∠ODB=90°，
∵三角形ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠OBC=30°，∠BOD=90°-30°=60°，
∴OD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$DB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cm，∠BOC=60°+60°=120°，
由勾股定理得：BO=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴陰影部分的面積S=S_扇形BOC-S_△OBC=$\frac{120•π×（\sqrt{3}）^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=π-$\frac{3}{4}$$\sqrt{3}$，
故選C．

點評 本題考查了扇形面積公式，等邊三角形的性質，三角形的外接圓，三角形面積，含30度角的直角三角形性質的應用，注意：圓心角為n°，半徑為r的扇形的面積為S=$\frac{nπ{r}^{2}}{360}$．