Question

3．臺風是一種自然災害，它以臺風中心為圓心，在周圍數十千米范圍內形成氣候風暴，有極強的破壞力．沿海某城市A的正南方向240km的B處有一臺風中心，其中心風力最大為十二級，每遠離臺風中心20千米，風力就減弱一級，該臺風中心現在正以15km/h的速度沿北偏東30°的方向往C移動，且臺風中心風力不變．若城市所受的風力達到或超過四級，則稱為受臺風的影響．
（1）城市A是否受臺風影響？請說明理由；
（2）如果城市A受臺風影響，則影響時間有多長？
（3）該城市受到臺風影響的最大風力為幾級？

Answer 1

分析 （1）求是否會受到臺風的影響，其實就是求A到BC的距離是否大于臺風影響范圍的半徑，如果大于，則不受影響，反之則受影響．如果過A作AD⊥BC于D，AD就是所求的線段．直角三角形ABD中，有∠ABD的度數，有AB的長，AD就不難求出了．
（2）受臺風影響時，臺風中心移動的距離，應該是A為圓心，臺風影響范圍的半徑為半徑，所得圓截得的BC上的線段的長即EF得長，可通過在直角三角形AED和AFD中，根據勾股定理求得．有了路程，有了速度，時間就可以求出了．
（3）風力最大時，臺風中心應該位于D點，然后根據題目給出的條件判斷出是幾級風．

解答 解：（1）該城市會受到這次臺風的影響．
理由是：如圖，過A作AD⊥BC于D．
在Rt△ABD中，∵∠ABD=30°，AB=240，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=120，
∵城市受到的風力達到或超過四級，則稱受臺風影響，
∴受臺風影響范圍的半徑為20×（12-4）=160．
∵120＜160，
∴該城市會受到這次臺風的影響．

（2）如圖以A為圓心，160為半徑作⊙A交BC于E、F，則AE=AF=160．
∴臺風影響該市持續的路程為：EF=2DE=2$\sqrt{A{E}^{2}-A{D}^{2}}$=80$\sqrt{7}$（千米）．
∴臺風影響該市的持續時間t=80$\sqrt{7}$÷15=$\frac{16\sqrt{7}}{3}$（小時）．

（3）∵AD距臺風中心最近，
∴該城市受到這次臺風最大風力為：12-（120÷20）=6（級）．

點評 本題考查了解直角三角形的應用-方向角問題，勾股定理的應用，解題的關鍵是從實際問題中抽象出直角三角形，難度中等．