Question

12．如圖所示的“楊輝三角”告訴了我們二項式乘方展開式的系數規律，如：第三行的三個數（1、2、1）恰好對應著（a+b）²的展開式a²+2ab+b²的系數；第四行的四個數恰好對應著（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³的系數，根據數表中前五行的數字所反映的規律，回答：
（1）圖中第六行括號里的數字分別是5，10，10，5；（請按從左到右的順序填寫）
（2）（a+b）⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴；
（3）利用上面的規律計算求值：（$\frac{2}{3}$）⁴-4×（$\frac{2}{3}$）³+6×（$\frac{2}{3}$）²-4×$\frac{2}{3}$+1．

Answer 1

分析 （1）根據“楊輝三角”規律確定出第六行括號里的數字即可；
（2）根據“楊輝三角”中的系數確定出原式展開結果即可；
（3）原式逆用“楊輝三角”系數規律變形，計算即可得到結果．

解答 解：（1）圖中第六行括號里的數字分別為5，10，10，5；
（2）（a+b）⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴；
（3）原式=（-$\frac{2}{3}$）⁴+4×（-$\frac{2}{3}$）³+6×（-$\frac{2}{3}$）²+4×（-$\frac{2}{3}$）+1=（-$\frac{2}{3}$+1）⁴=$\frac{1}{81}$．
故答案為：（1）5，10，10，5；（2）a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴

點評 此題考查了整式的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．