Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點為A（﹣1，﹣1），與x軸交點M（1，0）．C為x軸上一點，且∠CAO=90°，線段AC的延長線交拋物線于B點，另有點F（﹣1，0）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求直線Ac的解析式及B點坐標；

（3）過點B做x軸的垂線，交x軸于Q點，交過點D（0，﹣2）且垂直于y軸的直線于E點，若P是△BEF的邊EF上的任意一點，是否存在BP⊥EF？若存在，求P點的坐標，若不存在，請說明理由．

 

  

Answer 1

解：（1）設拋物線解析式為：y=a（x+1）²﹣1，將（1，0）代入得：

0=a（1+1）²﹣1，

解得；a=，

∴拋物線的解析式為：y=（x+1）²﹣1；

（2）∵A（﹣1，﹣1），

∴∠COA=45°，

∵∠CAO=90°，

∴△CAO是等腰直角三角形，

∴AC=AO，

∴C（﹣2，0），

設直線AC的解析式為：y=kx+b，

將A，C點代入得出：，

解得：，

∴直線AC的解析式為：y=﹣x﹣2，

將y=（x+1）²﹣1和y=﹣x﹣2聯立得：

，

解得：，，

∴直線AC的解析式為：y=﹣x﹣2，B點坐標為：（﹣5，3）；

（3）過點B作BP⊥EF于點P，

由題意可得出：E（﹣5，﹣2），設直線EF的解析式為：y=dx+c，

則，

解得：，

∴直線EF的解析式為：y=x+，

∵直線BP⊥EF，∴設直線BP的解析式為：y=﹣2x+e，

將B（﹣5，3）代入得出：3=﹣2×（﹣5）+e，

解得：e=﹣7，

∴直線BP的解析式為：y=﹣2x﹣7，

∴將y=﹣2x﹣7和y=x+聯立得：

，

解得：，

∴P（﹣3，﹣1），

故存在P點使得BP⊥EF，此時P（﹣3，﹣1）．