Question

7．（1）如圖1：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F．證明：DE=DF．
（2）如圖2，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，DE和DF分別平分∠ADB和∠ADC，求證：DE=DF．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性質(zhì)和角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理直接證明即可；
（2）利用等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定定理ASA證得△AED≌△AFD，則由該全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到DE=DF．

解答 解：
（1）證明：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE=DF；
（2）證明：∵AB=AC，AD⊥BC
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE平分∠ADB，DF平分和∠ADC，
∴∠ADE=∠ADF=45°，
在△AED和△AFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠CAD}\\{AD=AD}\\{∠ADE=∠ADF}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△AFD（ASA），
∴DE=DF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)．此題利用了等腰三角形“三線(xiàn)合一”的性質(zhì)推知來(lái)證明三角形全等的對(duì)應(yīng)角．