Question

17．【問題學習】小蕓在小組學習時問小娟這樣一個問題：已知α為銳角，且sinα=$\frac{1}{3}$，求sin2α的值．小娟是這樣給小蕓講解的：
構造如圖1所示的圖形，在⊙O中，AB是直徑，點C在⊙O上，所以∠ACB=90°，作CD⊥AB于D．設∠BAC=α，則sinα=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{3}$，可設BC=x，則AB=3x，…．
【問題解決】
（1）請按照小娟的思路，利用圖1求出sin2α的值；（寫出完整的解答過程）
（2）如圖2，已知點M，N，P為⊙O上的三點，且∠P=β，sinβ=$\frac{3}{5}$，求sin2β的值．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，⊙O中，AB是直徑，點C在⊙O上，所以∠ACB=90°，作CD⊥AB于D．設∠BAC=α，則sinα=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{3}$，可設BC=x，則AB=3x．利用面積法求出CD，在Rt△COD中，根據sin2α=$\frac{CD}{OC}$，計算即可．
（2）如圖2中，連接NO，并延長交⊙O于點Q，連接MQ，MO，過點M作MR⊥NO于點R．首先證明∠MON=2∠Q=2β，
在Rt△QMN中，由sinβ=$\frac{MN}{NQ}=\frac{3}{5}$，設MN=3k，則NQ=5k，易得OM=$\frac{1}{2}$NQ=$\frac{5}{2}k$，可得MQ=$\sqrt{Q{N^2}-M{N^2}}=4k$，由$\frac{1}{2}$•MN•MQ=$\frac{1}{2}$•NQ•MR，求出在Rt△MRO中，根據sin2β=sin∠MON=$\frac{MR}{OM}$，計算即可．

解答 解：（1）如圖1中，⊙O中，AB是直徑，點C在⊙O上，所以∠ACB=90°，作CD⊥AB于D．設∠BAC=α，則sinα=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{3}$，可設BC=x，則AB=3x．

∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{（3x）^{2}-{x}^{2}}$=2$\sqrt{2}$x，
∵$\frac{1}{2}$•AC•BC=$\frac{1}{2}$•AB•CD，
∴CD=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$x，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=α，
∴∠COB=2α，
∴sin2α=$\frac{CD}{OC}$=$\frac{{4\sqrt{2}}}{9}$．　

（2）如圖2中，連接NO，并延長交⊙O于點Q，連接MQ，MO，過點M作MR⊥NO于點R．

在⊙O中，∠NMQ=90°，
∵∠Q=∠P=β，∴∠MON=2∠Q=2β，
在Rt△QMN中，∵sinβ=$\frac{MN}{NQ}=\frac{3}{5}$，
∴設MN=3k，則NQ=5k，易得OM=$\frac{1}{2}$NQ=$\frac{5}{2}k$，
∴MQ=$\sqrt{Q{N^2}-M{N^2}}=4k$，
∵${S_{△NMQ}}=\frac{1}{2}MN•MQ=\frac{1}{2}NQ•MR$，
∴3k•4k=5k•MR
∴MR=$\frac{12}{5}k$，
在Rt△MRO中，sin2β=sin∠MON=$\frac{MR}{OM}=\frac{{\frac{12}{5}k}}{{\frac{5k}{2}}}=\frac{24}{25}$．

點評 本題考查圓綜合題、銳角三角函數，等腰三角形的性質，圓周角定理、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，本題的突破點是找到兩倍角，屬于中考壓軸題．