Question

（本題滿分12分）如圖1，在平面直角坐標系中，點M在x軸的正半軸上，⊙M交x軸 于A、B兩點，交y軸C、D于兩點，且C為弧AE的中點，AE交y軸于點G，若A點的坐標為（－2，0），CD=8

（1）求⊙M的半徑

（2）求AE的長

（3）如圖2，過點D作⊙M的切線，交x軸于點P．動點F在⊙M圓周上運動時，的比值是否發生變化，若不變，求出比值：若不變，請說明變化規律

Answer 1

見解析

【解析】

試題分析：（1）連結CM，則AB CD,所以OC=0D=4，設⊙M的半徑為r，A點的坐標為（－2，0），所以OM=r-2，在Rt△OCM中，根據勾股定理可得r=5；（2）因為AB CD,所以弧AC=弧AD,又C為弧AE的中點，所以可證弧CD=弧AE，所以AE=CD=8;（3）連結AM，利用△MOD∽△MDP, △MOD∽△DOP可得OP=，然后分三種情況討論：點F與點A重合，點F與點B重合，點F與點A、B都不重合，可求出．

試題解析：（1）連結CM，則AB CD,所以OC=0D=4，設⊙M的半徑為r，A點的坐標為（－2，0），所以OM=r-2，在Rt△OCM中，，所以r=5；（2）因為AB CD,所以弧AC=弧AD,又C為弧AE的中點，所以弧CD=弧AE，所以AE=CD=8;（3）如圖2，連結AM，則DM PD, DO PM,所以△MOD∽△MDP, △MOD∽△DOP ,所以，所以，所以OP=，然后分三種情況討論：點F與點A重合時，,點F與點B重合時，，點F與點A、B都不重合時，，所以，因為∠AMF=∠MPF,所以△MFO∽△MPF,所以．綜上所述的值不變，值為．

考點：1．垂徑定理；2．勾股定理；3．相似三角形的判定與性質．