Question

13．△ABC為等腰直角三角形，∠ABC=90°，點D在AB邊上（不與點A、B重合），以CD為腰作等腰直角△CDE，∠DCE=90°．
（1）如圖1，作EF⊥BC于F，求證：△DBC≌△CFE；
（2）在圖1中，連接AE交BC于M，求$\frac{AD}{BM}$的值；
（3）如圖2，過點E作EH⊥CE交CB的延長線于點H，過點D作DG⊥DC，交AC于點G，連接GH，當點D在邊AB上運動時，探究線段HE，HG與DG之間的數量關系，并證明你的結倫．

Answer 1

分析 （1）根據等腰直角三角形的性質得到CD=CE，再利用等角的余角相等得到∠DCB=∠CEF，然后根據“AAS”可證明△DBC≌△CFE；
（2）由△DBC≌△CFE得到BD=CF，BC=EF，再利用△ABC為等腰直角三角形得到AB=BC，所以AB=EF，AD=BF，接著證明△ABM≌△EFM，得到BM=FM，所以$\frac{AD}{BM}$=2；
（3）在EH上截取EQ=DG，如圖2，先證明△CDG≌△CEQ得到CG=CQ，∠DCG=∠ECQ，由于∠DCG+∠DCB=45°，則∠ECQ+∠DCB=45°，所以∠HCQ=45°，再證明△HCG≌△HCQ，則得到HG=HQ，然后可計算出HE=GD+GH．

解答 （1）證明：∵△CDE為等腰直角三角形，∠DCE=90°．
∴CD=CE，∠DCB+∠ECF=90°，
∵EF⊥BC，
∴∠ECF+∠CEF=90°，
∴∠DCB=∠CEF，
在△DBC和△CEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBC=∠CFE}\\{∠DCB=∠CEF}\\{CD=EC}\end{array}\right.$，
∴△DBC≌△CFE；

（2）解：如圖1，
∵△DBC≌△CFE，
∴BD=CF，BC=EF，
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴AB=BC，
∴AB=EF，AD=BF，
在△ABM和△EFM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMB=∠EMF}\\{∠ABM=∠EFM}\\{AB=EF}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△EFM，
∴BM=FM，
∴BF=2BM，
∴AD=2BM，
∴$\frac{AD}{BM}$的值為2；

（3）解：HE=GH+GD，
在EH上截取EQ=DG，如圖2，
在△CDG和△CEQ中
$\left\{\begin{array}{l}{DG=EQ}\\{∠CDG=∠CEQ}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△CDG≌△CEQ，
∴CG=CQ，∠DCG=∠ECQ，
∵∠DCG+∠DCB=45°，
∴∠ECQ+∠DCB=45°，
而∠DCE=90°，
∴∠HCQ=45°，
∴∠HCQ=∠HCG，
在△HCG和△HCQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{HC=HC}\\{∠HCG=∠HCQ}\\{CG=CQ}\end{array}\right.$，
∴△HCG≌△HCQ，
∴HG=HQ，
∴HE=HQ+QE=HG+DG．

點評 此題是三角形綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質：全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件．在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形．