Question

15．（1）如圖（1）在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠C=90°，AD為∠BAC的平線交BC于D，求證：AB=AC+CD．（提示：在AB上截取AE=AC，連接DE）
（2）如圖（2）當∠C≠90°時，其他條件不變，線段AB、AC、CD又有怎樣的數量關系，直接寫出結果，不需要證明．
（3）如圖（3）當∠ACB≠90°，AD為△ABC的外角∠CAF的平分線，交BC的延長線于點D，則線段 AB、AC、CD又有怎樣的數量關系？寫出你的猜想，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）在AB上截取AE=AC，連接DE，根據角平分線的定義得到∠1=∠2．推出△ACD≌△AED（SAS）．根據全等三角形的性質得到∠AED=∠C=90，CD=ED，根據已知條件得到∠B=45°．求得∠EDB=∠B=45°．得到DE=BE，等量代換得到CD=BE．即可得到結論；
（2）在AC取一點E使AB=AE，連接DE，易證△ABD≌△AED，所以∠B=∠AED，BD=DE，又因為∠B=2∠C，所以∠AED=2∠C，因為∠AED是△EDC的外角，所以∠EDC=∠C，所以ED=EC，BD=EC，進而可證明AB+BD=AE+EC=AC；
（3）在AB的延長線AF上取一點E，使得AE=AC，連接DE．證明△ACD≌△AED，根據全等三角形的性質得到DE=BE，BE=CD，即可得出結論．

解答 解：（1）如圖1所示，在AB上截取AE=AC，連接DE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2．
在△ACD和△AED中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AE}\\{∠1=∠2}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△AED（SAS）．
∴∠AED=∠C=90，CD=ED，
又∵∠ACB=2∠B，∠C=90°，
∴∠B=45°．
∴∠EDB=∠B=45°．
∴DE=BE，
∴CD=BE．
∵AB=AE+BE，
∴AB=AC+CD．

（2）證明：在AB取一點E使AC=AE，
在△ACD和△AED中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AE}\\{∠BAD=∠EAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△AED，
∴∠C=∠AED，CD=DE，
又∵∠C=2∠B，
∴∠AED=2∠B，
∵∠AED是△EDC的外角，
∴∠EDB=∠B，
∴ED=EB，
∴CD=EB，
∴AB=AC+CD；

（3）AB=CD-AC
證明：在BA的延長線AF上取一點E，使得AE=AC，連接DE，
在△ACD和△AED中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AE}\\{∠CAD=∠EAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△AED（SAS），
∴∠ACD=∠AED，CD=DE，
∴∠ACB=∠FED，
又∵∠ACB=2∠B，
∴∠FED=2∠B，
又∵∠FED=∠B+∠EDB，
∴∠EDB=∠B，
∴DE=BE，
∴BE=CD，
∴AB=CD-AC．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，作出輔助線構造成全等三角形是解題的關鍵，也是本題的難點．