Question

【題目】如圖所示，正比例函數 的圖象與反比例函數 在第一象限的圖象交于點 ，過點 作 軸的垂線，垂足為 ，已知△OAM的面積為1.

（1）求反比例函數的解析式；
（2）如果點 為反比例函數在第一象限圖象上的點（點 與點 不重合），且點 的橫坐標為1，在 軸上求一點 ，使 最小.

Answer 1

【答案】
（1）解：設A點的坐標為（ ， ），

則 .∴ .

∵ ,∴ .∴ .

∴反比例函數的解析式為

（2）解： 由 得 或 ∴A為 .

設A點關于 軸的對稱點為C，則C點的坐標為 .

如要在 軸上求一點P，使PA+PB最小.則P點應為BC和x軸的交點，如圖所示.

令直線BC的解析式為 .

∵B為（1，2），∴ ∴

∴BC的解析式為 .

當 時， .∴P點坐標為 .

【解析】（1）根據反比例函數k的幾何意義，由已知△OAM的面積為1，設A點的坐標為（ a ， b ），得出 a b = 1，即可求出k（k＞0）的值，從而得出反比例函數的解析式。
（2）此題是在 x 軸上求一點 P ，使 P A + P B 最小，根據軸對稱的性質，先作出A點關于 x 軸的對稱點為C，連接BC交x軸于點P，可得出點C的坐標，再求出直線BC的函數解析式，根據y=0，求出對應的自變量的值，即可得出點P的坐標。
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解確定一次函數的表達式的相關知識，掌握確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法，以及對反比例函數的性質的理解，了解性質:當k＞0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內y值隨x值的增大而減小； 當k＜0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內y值隨x值的增大而增大．