Question

20．如圖（1），∠AOB=120°，在∠AOB內(nèi)作兩條射線OC和OD，且OM平分∠AOD，ON平分∠BOC．
①若∠AOC：∠COD：∠DOB=5：3：4，求∠MON的度數(shù)．
②若將圖（1）中的∠COD繞點(diǎn)O順時(shí)針轉(zhuǎn)一個(gè)小于70°的角α如圖（2），其它條件不變，請直接寫出∠MON的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)∠AOC：∠COD：∠DOB=5：3：4，設(shè)∠AOC=5x，∠COD=3x，∠DOB=4x，再根據(jù)∠AOC+∠COD+∠BOD=120°，列出方程5x+3x+4x=120°，求得x的值后，得出∠AOC=50°，∠COD=30°，∠DOB=40°，再根據(jù)∠MON=∠DOM+∠CON-∠COD進(jìn)行計(jì)算，即可∠MON的度數(shù)；
（2）先根據(jù)OM平分∠AOD，ON平分∠BOC，得出∠DOM=$\frac{1}{2}$∠AOD，∠CON=$\frac{1}{2}$∠BOC，再根據(jù)∠MON=∠DOM+∠CON-∠COD=$\frac{1}{2}$∠AOD+$\frac{1}{2}$∠BOC-∠COD=$\frac{1}{2}$（∠AOD+∠BOC）-∠COD=$\frac{1}{2}$（∠AOB+∠COD）-∠COD進(jìn)行計(jì)算，即可得出∠MON的度數(shù)．

解答 解：（1）如圖1，∵∠AOC：∠COD：∠DOB=5：3：4，
∴可設(shè)∠AOC=5x，∠COD=3x，∠DOB=4x，
∵∠AOB=120°，
∴∠AOC+∠COD+∠BOD=120°，
∴5x+3x+4x=120°，
解得x=10°，
∴∠AOC=50°，∠COD=30°，∠DOB=40°，
∵OM平分∠AOD，ON平分∠BOC，
∴∠DOM=$\frac{1}{2}$∠AOD=$\frac{1}{2}$（50°+30°）=40°，
∠CON=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$（30°+40°）=35°，
∴∠MON=∠DOM+∠CON-∠COD=40°+35°-30°=45°；

（2）如圖2，∵OM平分∠AOD，ON平分∠BOC，
∴∠DOM=$\frac{1}{2}$∠AOD，∠CON=$\frac{1}{2}$∠BOC，
∴∠MON=∠DOM+∠CON-∠COD
=$\frac{1}{2}$∠AOD+$\frac{1}{2}$∠BOC-∠COD
=$\frac{1}{2}$（∠AOD+∠BOC）-∠COD
=$\frac{1}{2}$（∠AOB+∠COD）-∠COD
=$\frac{1}{2}$∠AOB-$\frac{1}{2}$∠COD
=$\frac{1}{2}$×120°-$\frac{1}{2}$×30°
=45°．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了角的計(jì)算以及角平分線的定義的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算求解，其難點(diǎn)在于將∠MON用∠DOM+∠CON-∠COD進(jìn)行表示，解題時(shí)注意：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線叫做這個(gè)角的平分線．