Question

16．如圖，AB為⊙O的直徑，弦AD平分∠CAB，過點D作DE⊥AC，垂足為點E，ED的延長線交AB的延長線于點F．
（1）判斷EF與⊙O的位置關系，并證明你的結論；
（2）若ED=2，AE=4，求⊙O 的半徑及AF的長．

Answer 1

分析 （1）連接OD，根據角平分線的性質與角的等量代換易得∠ODE=90°，而D是圓上的一點；故可得直線DE與⊙O相切；
（2）連接BD，根據勾股定理得到AD=$\sqrt{A{E}^{2}+D{E}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，根據圓周角定理得到∠ADB=90°，根據相似三角形的性質列方程得到AB=5，根據切線的性質得到OD⊥EF，求得AE∥OD，根據相似三角形的性質即可得到結論．

解答 解：（1）直線FE與⊙O相切，DE是切線；
連接OD，
∵∠CAB的平分線是AD，
∴∠CAD=∠DAB．
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA．
∴∠EAD=∠ADO，
∴AE∥OD，
∵∠AED=90°，
∴∠ODE=90°．
∴直線DE與⊙O相切；

（2）連接BD，
∵ED=2，AE=4，
∴AD=$\sqrt{A{E}^{2}+D{E}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∵∠EAD=∠BAD，
∴△ADE∽△ABD，
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{AD}{AB}$，
∴AB=5，
∴⊙O 的半徑=$\frac{5}{2}$，
∴OD=AO=OB=$\frac{5}{2}$，
∵直線DE與⊙O相切，
∴OD⊥EF，
∴AE∥OD，
∴△ODF∽△EAF，
∴$\frac{OD}{AE}=\frac{OF}{AF}$，即$\frac{\frac{5}{2}}{4}=\frac{AF-\frac{5}{2}}{AF}$，
∴AF=$\frac{20}{3}$．

點評 本題考查的是直線與圓的位置關系，相似三角形的判定和性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．