Question

10．如圖，在Rt△ABC中，AC=BC，點D是△ABC內一點，若AC=AD，∠CAD=30°，連接BD，則∠ADB的度數為（　　）

• A． 120°
• B． 135°
• C． 150°
• D． 165°

Answer 1

分析 先根據△ABC是等腰直角三角形得：∠CAB=∠ABC=45°，作輔助線，構建全等三角形，證明△CDB≌△AED，則∠ADE=∠CBD，ED=BD，設∠CBD=x，則∠ADE=x，∠DEB=∠DBE=15+x，根據∠ABC=45°列方程可求x的值，根據三角形內角和得∠BDC=150°，最后由周角得出結論．

解答 解：∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠ABC=45°，
∵AC=AD，
∴AD=BC，
∵∠CAD=30°，
∴∠ACD=∠ADC=75°，
∠DAB=45°-30°=15°，
∴∠DCB=90°-75°=15°，
∴∠EAD=∠DCB，
在AB上取一點E，使AE=CD，連接DE，
在△CDB和△AED中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{∠EAD=∠DCB}\\{AE=CD}\end{array}\right.$，
∴△CDB≌△AED（SAS），
∴∠ADE=∠CBD，ED=BD，
∴∠DEB=∠DBE，
設∠CBD=x，則∠ADE=x，∠DEB=∠DBE=15+x，
∵∠ABC=45°，
∴x+15+x=45，
x=15°，
∴∠DCB=∠DBC=15°，
∴∠BDC=180°-15°-15°=150°，
∴∠ADB=360°-75°-150°=135°；
故選B．

點評 本題考查了等腰直角三角形的性質、三角形全等的性質和判定以及三角形內角和與外角的性質，作輔助線，構建全等三角形是關鍵，根據三角形的角的關系依次求角的度數是突破口，并與方程相結合，使問題得以解決．