Question

15．如圖，一次函數y=kx+b的圖象與反比例函數y=$\frac{m}{x}$的圖象交于A（-3，1），B（2，n）兩點，直線AB分別交x軸、y軸于D，C兩點．
（1）求出m和n的值；
（2）求一次函數的解析式；
（3）求$\frac{AB}{CD}$的值．

Answer 1

分析 （1）由點A的坐標利用反比例函數圖象上點的坐標特征即可求出m值，進而即可得出反比例函數解析式，再根據點B的橫坐標利用反比例函數圖象上點的坐標特征即可求出n值；
（2）由點A、B的坐標利用待定系數法即可求出一次函數的解析式；
（3）分別將x=0、y=0代入一次函數解析式中求出與之對應的y、x值，進而即可找出點C、D的坐標，由點A、B、C、D共線結合四點的橫坐標即可求出$\frac{AB}{CD}$的值．

解答 解：（1）∵點A（-3，1）在反比例函數y=$\frac{m}{x}$的圖象上，
∴m=-3×1=-3，
∴反比例函數的解析式為y=-$\frac{3}{x}$．
∵點B（2，n）在反比例函數y=-$\frac{3}{x}$的圖象上，
∴n=-$\frac{3}{2}$．
（2）將A（-3，1）、B（2，-$\frac{3}{2}$）代入y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=1}\\{2k+b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴一次函數的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$．
（3）當x=0時，y=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$，
∴點C的坐標為（0，-$\frac{1}{2}$）；
當y=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$=0時，x=-1，
∴點D的坐標為（-1，0）．
∵點A、B、C、D在同一條直線上，
∴$\frac{AB}{CD}$=$\frac{{x}_{B}-{x}_{A}}{{x}_{C}-{x}_{D}}$=$\frac{2-（-3）}{0-（-1）}$=5．

點評 本題考查了反比例函數與一次函數圖象的交點問題、反比例函數圖象上點的坐標特征、一次函數圖象上點的坐標特征以及待定系數法求一次函數解析式，解題的關鍵是：（1）根據反比例函數圖象上點的坐標特征求出m、n的值；（2）根據點A、B的坐標利用待定系數法求出一次函數的解析式；（3）利用一次函數圖象上點的坐標特征求出點C、D的坐標．