Question

已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖（1）擺放（點C與點E重合），點B、C（E）、F在同一條直線上．∠ACB = ∠EDF = 90°，∠DEF = 45°，AC = 8 cm，BC = 6 cm，EF = 9 cm．如圖（2），△DEF從圖（1）的位置出發，以1 cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動，在△DEF移動的同時，點P從△ABC的頂點B出發，以2 cm/s的速度沿BA向點A勻速移動.當△DEF的頂點D移動到AC邊上時，△DEF停止移動，點P也隨之停止移動．DE與AC相交于點Q，連接PQ，設移動時間為t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列問題：                                   [根據2010年青島中考試卷改編]

（1）當t為何值時，點A在線段PQ的垂直平分線上？

（2）連接PE，設四邊形APEC的面積為y（cm2），求y與t之間的函數關系式；是否存在某一時刻t，使面積y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，說明理由．

（3）是否存在某一時刻t，使P、Q、F三點在同一條直線上？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）∵點A在線段PQ的垂直平分線上，

∴AP = AQ.

∵∠DEF = 45°，∠ACB = 90°，∠DEF＋∠ACB＋∠EQC = 180°，

∴∠EQC = 45°.

∴∠DEF =∠EQC.

∴CE = CQ.                                              

由題意知：CE = t，BP =2 t，                            

∴CQ = t.

∴AQ = 8－t.

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB = 10 cm .

則AP = 10－2t.

∴10－2t = 8－t.

解得：t = 2.                                             

答：當t = 2s時，點A在線段PQ的垂直平分線上.

（2）過P作，交BE于M，

∴.

在Rt△ABC和Rt△BPM中，，

∴ .   ∴PM = .        

∵BC = 6 cm，CE = t，  ∴ BE = 6－t.

∴y = S_△ABC－S_△BPE =－= －

= = .                     

∵，∴拋物線開口向上.

∴當t = 3時，y_最小=.                             

答：當t = 3s時，四邊形APEC的面積最小，最小面積為cm².

 （3）假設存在某一時刻t，使點P、Q、F三點在同一條直線上.

過P作，交AC于N，

∴.

∵，∴△PAN ∽△BAC.

∴.

∴.

∴，.

∵NQ = AQ－AN，

∴NQ = 8－t－() = ．                          

∵∠ACB = 90°，B、C（E）、F在同一條直線上，

∴∠QCF = 90°，∠QCF = ∠PNQ.

∵∠FQC = ∠PQN，

∴△QCF∽△QNP .                                     

∴ .  ∴ . 

∵    ∴

解得：t = 1.                                         

答：當t = 1s，點P、Q、F三點在同一條直線上.