Question

矩形ABCD的對角線交于O點，一條邊的長為1，△AOB是正三角形，則這個矩形的周長為

 

．

Answer 1

考點：矩形的性質,等邊三角形的性質

專題：壓軸題

分析：畫出圖形，根據矩形的對角線互相平分且相等可得AC=2OB，再根據等邊三角形的三邊都相等，然后求出AC=2AB，然后分①AB=1時，利用勾股定理列式求出BC，②BC=1時，利用勾股定理列式求出AB的長，再根據矩形的周長公式列式計算即可得解．

解答：解：在矩形ABCD中，AC=2OB，
∵△AOB是正三角形，
∴OB=AB，
∴AC=2AB，
①AB=1時，AC=2，
根據勾股定理，BC=

AC2-AB2

=

22-12

=

3

，
所以，矩形的周長=2（AB+BC）=2（1+

3

）=2+2

3

；
②BC=1時，根據勾股定理，AB²+BC²=AC²，
所以，AB²+1²=（2AB）²，
解得AB=

3

3

，
所以，矩形的周長=2（AB+BC）=2（

3

3

+1）=

2 3

3

+2；
綜上所述，矩形的周長為2+2

3

或

2 3

3

+2．
故答案為：2+2

3

或

2 3

3

+2．

點評：本題考查了矩形的對角線互相平分且相等的性質，等邊三角形的性質，難點在于要分情況討論．