Question

12．已知：如圖1，圖2，在平面直角坐標系xOy中，A（0，4），B（0，2），點C在x軸的正半軸上，點D為OC的中點．
（1）求證：BD∥AC；
（2）如果OE⊥AC于點E，OE=2時，求點C的坐標；
（3）如果OE⊥AC于點E，當四邊形ABDE為平行四邊形時，求直線AC的解析式．

Answer 1

分析 （1）由點A、B的坐標可得出點B為線段OA的中點，再結合點D為線段OC的中點，即可證得BD∥AC；
（2）在Rt△AOE中，由OA、OE的長即可得出∠OAE的度數，在Rt△AOC中可得出AC、OC的關系，再利用勾股定理即可得出OC的長度，根據點C的位置即可得出點C的坐標；
（3）連接BE，根據正方形的判定即可得出四邊形ODEB是正方形，由正方形的性質即可得出點D的坐標，進而得出點C的坐標，再根據點A、C的坐標利用待定系數法即可求出直線AC的解析式．

解答 解：（1）證明：∵A（0，4），B（0，2），
∴OA=4，OB=2，點B為線段OA的中點，
∵點D為OC的中點．
∴BD∥AC．
（2）∵OE⊥AC于點E，
∴△AOE是直角三角形．
∵OA=4，OE=2=$\frac{1}{2}$OA，
∴∠OAE=30°．
∵∠AOC=90°，∠OAC=30°，
∴AC=2OC．
在Rt△AOC中，由勾股定理可得：OC²+OA²=AC²，
即OC²+16=4OC²，解得：OC=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∵點C在x軸的正半軸上，
∴點C的坐標為（$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，0）．
（3）連接BE，如圖所示．
當四邊形ABDE為平行四邊形時，DE∥AB，DE=AB．
由（1）知點B為線段OA的中點，
∴DE∥OB，DE=OB，
∴四邊形ODEB是平行四邊形，
∵OB⊥OC，
∴?ODEB是矩形．
∵BD∥AC，OE⊥AC，
∴OE⊥BD，
∴矩形ODEB是正方形，
∴OD=OB=2．
∵點D為OC的中點，
∴OC=2OD=4，
∵點C在x軸的正半軸上，
∴點C的坐標為（4，0）．
設直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0），
把點A（0，4）、C（4，0）代入y=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{4=b}\\{0=4k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=-x+4．

點評 本題考查了平行線的判定、勾股定理、特殊角的三角函數值、正方形的判定以及利用待定系數法求出一次函數解析式，解題的關鍵是：（1）根據平行線的判定定理找出BD∥AC；（2）根據勾股定理求出OC的長度；（3）找出點C的坐標．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，找出點的坐標，再根據點的坐標利用待定系數法求出函數解析式是關鍵．