Question

19．如圖，直線AB與⊙O相切于點A，AC、CD是⊙O的兩條弦，且CD∥AB，若⊙O的半徑為$\frac{5}{2}$，CD=4，則弦AC的長為（　　）

• A． 2$\sqrt{5}$
• B． 3$\sqrt{2}$
• C． 4
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 首先連接AO并延長，交CD于點E，連接OC，由直線AB與⊙O相切于點A，根據切線的性質，可得AE⊥AB，又由CD∥AB，可得AE⊥CD，然后由垂徑定理與勾股定理，求得OE的長，繼而求得AC的長．

解答 解：連接AO并延長，交CD于點E，連接OC，
∵直線AB與⊙O相切于點A，
∴EA⊥AB，
∵CD∥AB，
∠CEA=90°，
∴AE⊥CD，
∴CE=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$×4=2，
∵在Rt△OCE中，OE=$\sqrt{O{C}^{2}-C{E}^{2}}$=$\frac{3}{2}$，
∴AE=OA+OE=4，
∴在Rt△ACE中，AC=$\sqrt{C{E}^{2}+A{E}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
故選A．

點評 此題考查了切線的性質、垂徑定理、勾股定理以及平行線的性質．此題難度適中，正確的添加輔助線是解題的關鍵．