Question

如圖，在半徑是2的⊙O中，點Q為優弧MN的中點，圓心角∠MON=60°，在NQ上有一動點P，且點P到弦MN的距離為x．
（1）求弦MN的長；
（2）試求陰影部分面積y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）試分析比較，當自變量x為何值時，陰影部分面積y與S_扇形OMN的大小關系．

Answer 1

（1）∵OM=ON，∠MON=60°，
∴△MON是等邊三角形，
∴MN=OM=ON=2；

（2）由三角形面積公式可得y=S_△PMN=

1

2

×2x；
即：y=x（0≤x≤2+

3

）．

（3）令y=S_扇形OMN，即x=

2

3

π；
∴x=

2

3

π，
當x=

2

3

π時，y=S_扇形OMN；
當0≤x＜

2

3

π時，y＜S_扇形OMN；
當

2

3

π＜x≤2+

3

，y＞S_扇形OMN．
注：過O作OP′∥MN交⊙O上一點P′，依等積關系得：x=

2

3

π，即可下結論．