Question

12．已知a、b互為相反數，且|a-b|=$\frac{2}{3}$，則$\frac{a-ab+b}{{a}^{2}+ab+1}$=$\frac{1}{9}$．

Answer 1

分析 首先根據a、b互為相反數，可得a+b=0，且b=-a，然后根據|a-b|=$\frac{2}{3}$，求出a、b的值各是多少，即可求出$\frac{a-ab+b}{{a}^{2}+ab+1}$的值．

解答 解：∵a、b互為相反數，
∴a+b=0，且b=-a，
∵|a-b|=$\frac{2}{3}$，
∴|a-（-a）|=$\frac{2}{3}$，
∴2|a|=$\frac{2}{3}$，
解得a=$\frac{1}{3}$或a=-$\frac{1}{3}$，
此時b=-$\frac{1}{3}$或b=$\frac{1}{3}$．
（1）a=$\frac{1}{3}$，b=-$\frac{1}{3}$時，
$\frac{a-ab+b}{{a}^{2}+ab+1}$
=$\frac{-\frac{1}{3}×（-\frac{1}{3}）}{{（\frac{1}{3}）}^{2}+\frac{1}{3}×（-\frac{1}{3}）+1}$
=$\frac{\frac{1}{9}}{\frac{1}{9}-\frac{1}{9}+1}$
=$\frac{1}{9}$

（2）a=-$\frac{1}{3}$，b=$\frac{1}{3}$時，
$\frac{a-ab+b}{{a}^{2}+ab+1}$
=$\frac{-（-\frac{1}{3}）×\frac{1}{3}}{{（-\frac{1}{3}）}^{2}+（-\frac{1}{3}）×\frac{1}{3}+1}$
=$\frac{\frac{1}{9}}{\frac{1}{9}-\frac{1}{9}+1}$
=$\frac{1}{9}$
綜上，可得
$\frac{a-ab+b}{{a}^{2}+ab+1}$=$\frac{1}{9}$．
故答案為：$\frac{1}{9}$．

點評 此題主要考查了絕對值的含義和求法，相反數的含義和求法，以及分類討論思想的應用，要熟練掌握．