Question

3．如圖1，將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．

（1）操作發現如圖2，固定△ABC，使△DEC繞點C順時針旋轉．當點D恰好落在AB邊上時．
①線段DE與AC的位置關系是DE∥AC．（不需證明）
②設△BDC的面積為S₁，△AEC的面積為S₂，則S₁與S₂的數量關系是S₁=S₂，證明你的結論；
（2）猜想論證
當△DEC繞點C旋轉到圖3所示的位置時，小明猜想（1）中S₁與S₂的數量關系仍然成立，并嘗試分別作出了△BDC和△AEC中BC，CE邊上的高，請你證明小明的猜想．

Answer 1

分析 （1）①根據旋轉的性質可得AC=CD，然后求出△ACD是等邊三角形，根據等邊三角形的性質可得∠ACD=60°，然后根據內錯角相等，兩直線平行進行解答；
②根據等邊三角形的性質可得AC=AD，再根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AC=$\frac{1}{2}$AB，然后求出AC=BD，再根據等邊三角形的性質求出點C到AB的距離等于點D到AC的距離，然后根據等底等高的三角形的面積相等解答；
（2）根據旋轉的性質可得BC=CE，AC=CD，再求出∠ACN=∠DCM，然后利用“角角邊”證明△ACN和△DCM全等，根據全等三角形對應邊相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面積相等證明．

解答 解：（1）①DE∥AC，
理由如下：如圖2，∵△DEC繞點C旋轉點D恰好落在AB邊上，
∴AC=CD，
∵∠BAC=90°-∠B=90°-30°=60°，
∴△ACD是等邊三角形，
∴∠ACD=60°，
又∵∠CDE=∠BAC=60°，
∴∠ACD=∠CDE，
∴DE∥AC；
②∵∠B=30°，∠C=90°，
∴CD=AC=$\frac{1}{2}$AB，
∴BD=AD=AC，
根據等邊三角形的性質可得，△ACD的邊AC、AD上的高相等，
∴△BDC的面積和△AEC的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），
即S₁=S₂，
故答案為：①DE∥AC；②S₁=S₂；

（2）如圖3，∵△DEC是由△ABC繞點C旋轉得到，
∴BC=CE，AC=CD，
∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°-90°=90°，
∴∠ACN=∠DCM，
在△ACN和△DCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACN=∠DCM}\\{∠CMD=∠N=90°}\\{AC=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACN≌△DCM（AAS），
∴AN=DM，
∴△BDC的面積和△AEC的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），
即S₁=S₂．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質，三角形的面積計算公式，等邊三角形的判定與性質，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質的綜合應用，熟練掌握等底等高的三角形的面積相等，以及全等三角形的面積相等是解題的關鍵．