Question

1．如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=12，BC=21，AD=16．動點P從點B出發(fā)，沿射線BC的方向以每秒3個單位長的速度運動，動點Q從點D出發(fā)，在線段DA上以每秒1個單位長的速度向點A運動，點P、Q分別從點B、D同時出發(fā)，當點Q運動到點A時，點P隨之停止運動，設(shè)運動的時間為t秒．
（1）當t=6時，求P、Q兩點之間的距離．
（2）若以B為原點，CB所在直線為x軸，建立平面直角坐標系．當t為何值時，D、Q、P、C四點在同一拋物線上？
（3）當t為何值時，四邊形ABPQ為圓外切四邊形．

Answer 1

分析 （1）過點Q作QM⊥BC，分別求出AQ和BP的長，在Rt△QPM中，根據(jù)勾股定理得出QP的長即可；
（2）D、Q兩點的縱坐標相同，P、C兩點的縱坐標相同，四點在同一拋物線上說明它們的對稱軸是一樣的，寫出四點的坐標，再分別求出它們的對稱軸即可得解；
（3）先求出AQ、BP的長，根據(jù)圓外切四邊形的對邊和相等以及勾股定理進行解答，據(jù)此即可得解．

解答 解：（1）如圖1，過點Q作QM⊥BC，
∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，
∴四邊形ABMQ是矩形，
∴QM=AB=12，
當t=6時，DQ=6，AQ=16-6=10，BP=3×6=18，
∴BM=AQ=10，
∴PM=18-10=8，
在Rt△PQM中，∠PMQ=90°，PM=8，QM=12，
QP=$\sqrt{{8}^{2}+1{2}^{2}}$=$\sqrt{208}$=4$\sqrt{13}$；
（2）如圖2所示，
DQ=t，AQ=16-t，BP=3t，BC=21，AD=16，
∴D（-16，12），Q（t-16，12），C（-21，0），P（-3t，0），
D、Q兩點的對稱軸為：$\frac{-16+t-16}{2}$，
C、P兩點的對稱軸為：$\frac{-21-3t}{2}$，
∵D、Q、P、C四點在同一拋物線上，
∴$\frac{-16+t-16}{2}=\frac{-21-3t}{2}$，
解得：t=$\frac{11}{4}$；
當t=$\frac{11}{4}$時，D、Q、P、C四點在同一拋物線上；
（3）如圖3，
過點Q作QN⊥BC，垂足為N，
∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，
∴四邊形ABNQ是矩形，
∴QN=AB=12，BN=AQ=16-t，BP=3t，
∵四邊形ABPQ為圓外切四邊形，
∴AQ+BP=PQ+AB，
∴PQ=16-t+3t-12=2t+4，PN=3t-（16-t）=4t-16，
在Rt△PNQ中，PQ²=PN²+QN²，
即：（2t+4）²=（4t-16）²+12²，
解得：t=4或t=8（舍）．
∴當t=4時，四邊形ABPQ為圓外切四邊形．

點評 本題是四邊形綜合題目，主要考查了動點問題、勾股定理、圓的外切四邊形的對邊和相等等知識點；認真分析題意，在第三問中認識到點P在7秒后停止是解題的關(guān)鍵，要注意認真總結(jié)．