Question

11．△ABC中，D是AC上一點，AD：DC=2：1，BD=$\sqrt{3}$+1，∠ADB=60°，∠C=45°，試判斷直線AB與△BCD的外接圓是相交還是相切，并證明你的結論．

Answer 1

分析 過B作BE⊥AD，E為垂足，不妨設AD=2，CD=1，設ED=x，由∠C=45°，∠ADB=60°，可得到$\sqrt{3}$x=x+1，求出x，利用勾股定理可求出AB=6，因此得到AB²=AD•AC，△ABD∽△ACB，∠ABD=∠ACB=45°，再證明∠ABF=90°，過B作直徑BF即可得到．

解答 解：直線AB與△BCD的外接圓相切．
理由：如圖，⊙O為△BCD的外接圓．過B作BE⊥AD，E為垂足，不妨設AD=2，CD=1，設ED=x，
∵∠C=45°，
∴BE=x+1，
∵∠ADB=60°，
∴BE=$\sqrt{3}$DE=$\sqrt{3}$x，即$\sqrt{3}$x=x+1，
∴x=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
則BE=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，AE=AD-ED=2-x=$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$，
在RT△AEB中，AB²=BE²+AE²=（$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$）²+（$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$）²=6，
而AD•AC=2×3=6
∴AB²=AD•AC，而∠A公共，
∴△ABD∽△ACB，
∴∠ABD=∠ACB=45°，
過B作直徑BF，則∠ADF=90°，
連DF，則∠F=∠ACB=45°，
∴∠DBF=45°，
∴∠ABF=90°，
∴AB是⊙O的切線，即AB是△BCD的外接圓的切線．

點評 本題考查了直線與圓的位置關系，根據題意作出△BCD的外接圓，構造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此題的關鍵．