Question

16．從-3，-2，-1，0，1，2，3這七個數中，隨機取出一個數，記為a，那么a使關于x的方程$\frac{ax}{x-2}-2=\frac{x}{2-x}$有整數解，且使關于x的不等式組$\left\{\begin{array}{l}x+1＞a\\ \frac{4-x}{2}≥1\end{array}\right.$有解的概率為$\frac{4}{7}$．

Answer 1

分析 先把分式方程化為整式方程得到（a-1）x=4，由于方程有整數解且x≠2，則a=-3，-1，0，2，3，再分別解兩個不等式得到x＞a-1和x≤2，由于不等式組$\left\{\begin{array}{l}x+1＞a\\ \frac{4-x}{2}≥1\end{array}\right.$有解，則a-1＜2，解得a＜3，于是使關于x的方程$\frac{ax}{x-2}-2=\frac{x}{2-x}$有整數解，且使關于x的不等式組$\left\{\begin{array}{l}x+1＞a\\ \frac{4-x}{2}≥1\end{array}\right.$有解的a的值為-3，-1，0，2，然后根據概率公式求解．

解答 解：方程$\frac{ax}{x-2}-2=\frac{x}{2-x}$兩邊乘以x-2得ax-2（x-2）=-x，
整理得（a-1）x=4，
由于方程有整數解且x≠2，
所以a=-3，-1，0，2，3，
解x+1＞a得x＞a-1，
解$\frac{4-x}{2}$≥1得x≤2，
由于不等式組$\left\{\begin{array}{l}x+1＞a\\ \frac{4-x}{2}≥1\end{array}\right.$有解，
所以a-1＜2，解得a＜3，
所以使關于x的方程$\frac{ax}{x-2}-2=\frac{x}{2-x}$有整數解，且使關于x的不等式組$\left\{\begin{array}{l}x+1＞a\\ \frac{4-x}{2}≥1\end{array}\right.$有解的a的值為-3，-1，0，2，
所以使關于x的方程$\frac{ax}{x-2}-2=\frac{x}{2-x}$有整數解，且使關于x的不等式組$\left\{\begin{array}{l}x+1＞a\\ \frac{4-x}{2}≥1\end{array}\right.$有解的概率=$\frac{4}{7}$．
故答案為$\frac{4}{7}$．

點評 本題考查了概率公式：隨機事件A的概率P（A）=事件A可能出現的結果數除以所有可能出現的結果數．也考查了解分式方程和不等式組．