Question

13．已知一次函數y=-$\frac{1}{2}$x+4的圖象與x軸、y軸分別相交于點A、B，四邊形AOBC（O是原點）的一組對邊平行，且AC=5．
（1）求點A、B的坐標；
（2）求點C的坐標；
（3）如果一個一次函數y=kx+b（k、b為常數，且k＜0）的圖象經過點A、C，求這個一次函數的解析式．

Answer 1

分析 （1）根據一次函數y=-$\frac{1}{2}$x+4的圖象與x軸、y軸分別相交于點A、B，即可得到點A、B的坐標；
（2）根據梯形的對邊平行，分為AC∥OB，BC∥OA兩種情況，畫出圖形，結合勾股定理求解；
（3）根據C點坐標，一次函數y=kx+b中k＜0的條件，確定C的坐標，求一次函數解析式．

解答 解：（1）∵一次函數y=-$\frac{1}{2}$x+4中，當x=0時，y=4；當y=0時，x=8，
∴A（8，0），B（0，4）；

（2）∵四邊形AOBC（O是原點）的一組對邊平行，
∴四邊形AOBC是梯形，
在梯形AOBC中，OA=8，OB=4，AC=5，
當AC∥OB時（如圖1），點C的坐標為（8，5），
當BC∥OA時（如圖2），設點C（x，4）．
∵AC=5，
∴（x-8）²+（4-0）²=5²，
∴x₁=5，x₂=11，
這時點C的坐標為（5，4）或（11，4），
∴點C的坐標為（8，5）或（5，4）或（11，4）；

（3）∵點A、C在一次函數y=kx+b（k＜0）的圖象上，
∴點（8，5）與（11，4）都不符合題意，只有當C為（5，4）時，k＜0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=8k+b}\\{4=5k+b}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=\frac{32}{3}}\end{array}\right.$，
∴這個一次函數的解析式為y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{32}{3}$．

點評 本題考查了一次函數的綜合運用，根據組成梯形的字母順序，按照梯形的底邊，需要分類討論求C點坐標，進而得到一次函數解析式．