Question

（2008•長寧區二模）如圖，AB為⊙O的直徑，點C在AB的延長線上，點D在⊙O上，且AD=CD，如果tanC=

3

3

，BC=1．求AD長？

Answer 1

分析：連接OD，先由AD=CD可知∠A=∠C，再根據tanC=

3

3

可求出∠C的度數，由三角形內角和定理可求出∠ADC的度數，再由OA=OD可求出∠CDO的度數，進而可判斷出△ODC是直角三角形，再根據銳角直角三角形的性質可求出OD及CD的長，即可得出AD的長．

解答：解：連接OD．
∵AD=CD，
∴∠A=∠C，
∵tanC=

3

3

，
∴∠A=∠C=30°，
∴∠ADC=180°-∠C-∠A=180°-30°-30°=120°，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO=30°，
∴∠CDO=∠ADC-∠ADO=120°-30°=90°，
在Rt△DOC中，
∵∠C=30°，
∴OD=

1

2

OC，
∵OD=OB，
∴OD=DB=BC=1，
∴OC=2，
∴CD=OC•cos30°=2×

3

2

=

3

，
∴AD=CD=

3

．

點評：本題考查的是圓周角定理、等腰三角形的判定與性質、直角三角形的判定與性質、三角形內角和定理，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．